首先,所述类似物是否存在?
第二,如何找到给定边的4个向量的4d体积/超体积,最好使用点,叉积等。
第三,表面积的3D模拟是什么?例如。 1D弧长,2D表面面积,3D体积,4D-?
您所描述的内容使用行列式进行概括。
嵌入在nD空间中的nD对象
[对于使用所有尺寸的对象,例如2D的平行四边形或3D的平行六面体,将定义(超)平行六面体的边的n
向量作为矩阵的行,并计算行列式:
2D 3D 4D 5D
|x1 y1| |x1 y1 z1| |x1 y1 z1 w1| (Repeat the same pattern)
|x1 y2| |x2 y2 z2| |x2 y2 z2 w2|
|x3 y3 z3| |x3 y3 z3 w3|
|x4 y4 z4 w4|
请注意,所获得的(超)体积是有符号的,具体取决于向量的方向。因此可能会有负体积。
[n-1)D对象嵌入nD空间
对于尺寸小于其生存空间的物体,例如3D空间中的平行四边形,可以使用叉积(从行列式得出)或叉积的一般化。例如,由两个3D向量(x1,y1,z1)
和(x2,y2,z2)
定义的嵌入3D的平行四边形的面积是根据包含两个向量作为行的矩阵来计算的:
[x1 y1 z1]
[x2 y2 z2]
从这个矩阵中,简单地创建2x2子矩阵的所有组合,计算每个矩阵的行列式,然后将它们放入向量中
[|y1 z1|, |z1 x1|, |x1 y1|] = (y1*z2-z1*y1, z1*x2-x1*z2, x1*y2-y1*x2)
[|y2 z2| |z2 x2| |x2 y2|]
您获得一个向量,并且该向量的长度是平行四边形的面积:sqrt((y1*z2-z1*y1)^2 + (z1*x2-x1*z2)^2 + (x1*y2-y1*x2)^2)
。
(几乎)最终概括
从最后一个示例中,我们可以描述适用于以任何维度嵌入的任何对象的通用方法(是的,您可以计算嵌入17D空间中的3D平行六面体的体积):
请注意,由于您平方后取平方根,因此最后一个配方给出的无符号体积是。
最后注:显然,这个答案主要是一个配方,而不是对所有这些计算均有效的解释。有关此主题的更多信息,建议您研究Exterior Algebra,这是一种形式化的方法,它使用wedge product
(叉积的泛化形式)以非常通用的方式定义这些超体积。