如何找到平行六面体的4d类似物的超体积?

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首先,所述类似物是否存在?

第二,如何找到给定边的4个向量的4d体积/超体积,最好使用点,叉积等。

第三,表面积的3D模拟是什么?例如。 1D弧长,2D表面面积,3D体积,4D-?

math geometry linear-algebra 4d
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您所描述的内容使用行列式进行概括。

嵌入在nD空间中的nD对象

[对于使用所有尺寸的对象,例如2D的平行四边形或3D的平行六面体,将定义(超)平行六面体的边的n向量作为矩阵的行,并计算行列式:

2D       3D          4D             5D
|x1 y1|  |x1 y1 z1|  |x1 y1 z1 w1|  (Repeat the same pattern)
|x1 y2|  |x2 y2 z2|  |x2 y2 z2 w2|
         |x3 y3 z3|  |x3 y3 z3 w3|
                     |x4 y4 z4 w4|

请注意,所获得的(超)体积是有符号的,具体取决于向量的方向。因此可能会有负体积。

[n-1)D对象嵌入nD空间

对于尺寸小于其生存空间的物体,例如3D空间中的平行四边形,可以使用叉积(从行列式得出)或叉积的一般化。例如,由两个3D向量(x1,y1,z1)(x2,y2,z2)定义的嵌入3D的平行四边形的面积是根据包含两个向量作为行的矩阵来计算的:

[x1 y1 z1]
[x2 y2 z2]

从这个矩阵中,简单地创建2x2子矩阵的所有组合,计算每个矩阵的行列式,然后将它们放入向量中

[|y1 z1|, |z1 x1|, |x1 y1|] = (y1*z2-z1*y1, z1*x2-x1*z2, x1*y2-y1*x2)
[|y2 z2|  |z2 x2|  |x2 y2|]

您获得一个向量,并且该向量的长度是平行四边形的面积:sqrt((y1*z2-z1*y1)^2 + (z1*x2-x1*z2)^2 + (x1*y2-y1*x2)^2)

(几乎)最终概括

从最后一个示例中,我们可以描述适用于以任何维度嵌入的任何对象的通用方法(是的,您可以计算嵌入17D空间中的3D平行六面体的体积):

  1. 将所有描述对象的向量作为(可能是非正方形的)矩阵行。
  2. 枚举平方子矩阵的所有可能组合。
  3. 计算所有这些子矩阵的行列式并将它们放在列表中(如果只需要体积,则顺序并不重要)。
  4. 分别对这些行列式求平方。
  5. 全部加总。
  6. 取结果的平方根。

请注意,由于您平方后取平方根,因此最后一个配方给出的无符号体积是。

最后注:显然,这个答案主要是一个配方,而不是对所有这些计算均有效的解释。有关此主题的更多信息,建议您研究Exterior Algebra,这是一种形式化的方法,它使用wedge product

(叉积的泛化形式)以非常通用的方式定义这些超体积。
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