任意精度多项式求解

Question

我们一直在使用 GSL 来求解多项式。然而，我们希望使用任意精度来求解多项式。我研究了 GMP 和 Boost 多精度库，但是，我找不到任何使用浮点系数求解多项式的例程。

1. 是否存在任何免费且开源的库，用于求解任意精度或非常高精度（小数点后>200位）的多项式？

2. 是否可以利用GSL多项式求解器例程将数据类型更改为GMP任意精度？

3. 使用一种标准算法和 GMP 任意精度数据类型编写多项式求解器是否更容易？

有不明白的地方欢迎评论。

Answer 1

如果您知道一些求解多项式方程的算法（您会在许多教科书中找到这些算法），您可以对其进行调整和编码以使用 GMP。

由于 GMP 有一个 C++ 类接口，具有通常的外观

operator +

...等等，您可以复制并粘贴一些现有的 C 代码，然后将其适应 GMP。

Answer 2

1. MPSolve 提供了一个使用多精度求解多项式的库。它在内部使用 GMP。

可以观察到以下情况：

• 计算可以以整数、有理数和浮点任意精度完成。
• 多项式的系数和各种其他选项通过文件作为输入给出。人们可以操纵原始代码以直接从自己的程序中调用该函数。
• 解决方案可以以多种格式报告，例如指数、纯实数等。
• 求解器已针对多个标准多项式测试用例进行了验证并检查。
• 求解器内部使用随机数，该随机数通过 Linux 计算机上的

  /dev/random

  播种。这会导致求解器在后续运行中速度缓慢的问题，因为在未来运行开始之前生成的 entropy 不够。这可以通过用标准伪随机生成器替换它来绕过。
• 尝试将求解器集成为库。然而，会出现严重的分段错误，难以调试。因此，通过调用其可执行文件来使用求解器。注意：这只是我的经验，希望可以以更好的方式完成。
• 正在开发新的 C++ 版本，希望能够解决这些问题。

---

2. 将 GSL 多项式求解器分叉为使用 GMP 数据类型非常繁琐。如果编写了求解器（请参见第 3 点），这将变得更加容易，并且代码将更易于控制和理解。

---

3. 如answer中所建议，可以使用GMP和MPFR多精度库，并且可以使用标准多项式求解技术（例如Jenkins-Traub算法或基于QR的技术）编写多项式求解器。

Boost C++ 库提供使用 GMP 和 MPFR 的包装器，使用起来可能非常方便。

Answer 3

Arb 库具有使用任意精度和区间算术求解 real 和 complex 多项式的例程。