一些标准的Python模块是否包含一个函数来计算一个数字的modular multiplicative inverse，即y = invmod(x, p)这样的数字x*y == 1 (mod p)？谷歌似乎没有给出任何好的提示。
当然，人们可以想出自制的10线extended Euclidean algorithm，但为什么要重新发明轮子。
例如，Java的BigInteger有modInverse方法。 Python没有类似的东西吗？
也许有人会发现这很有用（来自wikibooks）：
def egcd(a, b):
if a == 0:
return (b, 0, 1)
else:
g, y, x = egcd(b % a, a)
return (g, x - (b // a) * y, y)
def modinv(a, m):
g, x, y = egcd(a, m)
if g != 1:
raise Exception('modular inverse does not exist')
else:
return x % m
好吧，我在python中没有函数但我在C中有一个函数可以很容易地转换为python，在下面的c函数中扩展的欧几里得算法用于计算逆mod。
int imod(int a,int n){
int c,i=1;
while(1){
c = n * i + 1;
if(c%a==0){
c = c/a;
break;
}
i++;
}
return c;}
Python函数
def imod(a,n):
i=1
while True:
c = n * i + 1;
if(c%a==0):
c = c/a
break;
i = i+1
return c
参考上述C函数取自以下链接C program to find Modular Multiplicative Inverse of two Relatively Prime Numbers
这是一个简洁的1-liner，无需使用任何外部库。
# Given 0<a<b, returns the unique c such that 0<c<b and a*c == gcd(a,b) (mod b).
# In particular, if a,b are relatively prime, returns the inverse of a modulo b.
def invmod(a,b): return 0 if a==0 else 1 if b%a==0 else b - invmod(b%a,a)*b//a
请注意，这实际上只是egcd，简化以仅返回单个感兴趣的系数。
来自cpython实现source code：
def invmod(a, n):
b, c = 1, 0
while n:
q, r = divmod(a, n)
a, b, c, n = n, c, b - q*c, r
# at this point a is the gcd of the original inputs
if a == 1:
return b
raise ValueError("Not invertible")
根据此代码上面的注释，它可以返回小的负值，因此您可以检查是否为负数，并在返回b之前添加n为负数。
上面的许多链接都会在2017年1月23日被破坏。我找到了这个实现：https://courses.csail.mit.edu/6.857/2016/files/ffield.py
如果你的模数是素数（你称之为p），那么你可以简单地计算：
y = x**(p-2) mod p # Pseudocode
或者在Python中：
y = pow(x, p-2, p)
以下是在Python中实现了一些数论功能的人：http://www.math.umbc.edu/~campbell/Computers/Python/numbthy.html
以下是在提示符处完成的示例：
m = 1000000007
x = 1234567
y = pow(x,m-2,m)
y
989145189L
x*y
1221166008548163L
x*y % m
1L
您可能还想查看gmpy模块。它是Python和GMP多精度库之间的接口。 gmpy提供了一个反转功能，可以完全满足您的需求：
>>> import gmpy
>>> gmpy.invert(1234567, 1000000007)
mpz(989145189)
更新的答案
如@hyh所述，如果逆不存在，则gmpy.invert()返回0。这符合GMP的mpz_invert()功能的行为。 gmpy.divm(a, b, m)为a=bx (mod m)提供了一般解决方案。
>>> gmpy.divm(1, 1234567, 1000000007)
mpz(989145189)
>>> gmpy.divm(1, 0, 5)
Traceback (most recent call last):
File "<stdin>", line 1, in <module>
ZeroDivisionError: not invertible
>>> gmpy.divm(1, 4, 8)
Traceback (most recent call last):
File "<stdin>", line 1, in <module>
ZeroDivisionError: not invertible
>>> gmpy.divm(1, 4, 9)
mpz(7)
divm()将在gcd(b,m) == 1时返回一个解，并在乘法逆不存在时引发异常。
免责声明：我是gmpy库的当前维护者。
更新的答案2
当反向不存在时，gmpy2现在正确引发异常：
>>> import gmpy2
>>> gmpy2.invert(0,5)
Traceback (most recent call last):
File "<stdin>", line 1, in <module>
ZeroDivisionError: invert() no inverse exists
这是CodeFights的单线;它是最短的解决方案之一：
MMI = lambda A, n,s=1,t=0,N=0: (n < 2 and t%N or MMI(n, A%n, t, s-A//n*t, N or n),-1)[n<1]
如果-1在A中没有乘法逆，它将返回n。
用法：
MMI(23, 99) # returns 56
MMI(18, 24) # return -1
解决方案使用Extended Euclidean Algorithm。
Sympy是一个用于符号数学的python模块，如果你不想实现自己的（或者如果你已经使用Sympy），它有一个内置的模块化反函数：
from sympy import mod_inverse
mod_inverse(11, 35) # returns 16
mod_inverse(15, 35) # raises ValueError: 'inverse of 15 (mod 35) does not exist'
这似乎没有在Sympy网站上记录，但这里是文档字符串：Sympy mod_inverse docstring on Github
这是我的代码，它可能很草率但无论如何它似乎对我有用。
# a is the number you want the inverse for
# b is the modulus
def mod_inverse(a, b):
r = -1
B = b
A = a
eq_set = []
full_set = []
mod_set = []
#euclid's algorithm
while r!=1 and r!=0:
r = b%a
q = b//a
eq_set = [r, b, a, q*-1]
b = a
a = r
full_set.append(eq_set)
for i in range(0, 4):
mod_set.append(full_set[-1][i])
mod_set.insert(2, 1)
counter = 0
#extended euclid's algorithm
for i in range(1, len(full_set)):
if counter%2 == 0:
mod_set[2] = full_set[-1*(i+1)][3]*mod_set[4]+mod_set[2]
mod_set[3] = full_set[-1*(i+1)][1]
elif counter%2 != 0:
mod_set[4] = full_set[-1*(i+1)][3]*mod_set[2]+mod_set[4]
mod_set[1] = full_set[-1*(i+1)][1]
counter += 1
if mod_set[3] == B:
return mod_set[2]%B
return mod_set[4]%B
上面的代码不会在python3中运行，并且与GCD变体相比效率较低。但是，此代码非常透明。它引发了我创建一个更紧凑的版本：
def imod(a, n):
c = 1
while (c % a > 0):
c += n
return c // a
为了找出模乘法逆，我建议使用扩展欧几里德算法，如下所示：
def multiplicative_inverse(a, b):
origA = a
X = 0
prevX = 1
Y = 1
prevY = 0
while b != 0:
temp = b
quotient = a/b
b = a%b
a = temp
temp = X
a = prevX - quotient * X
prevX = temp
temp = Y
Y = prevY - quotient * Y
prevY = temp
return origA + prevY
我从这个线程尝试不同的解决方案，最后我使用这个：
def egcd(self, a, b):
lastremainder, remainder = abs(a), abs(b)
x, lastx, y, lasty = 0, 1, 1, 0
while remainder:
lastremainder, (quotient, remainder) = remainder, divmod(lastremainder, remainder)
x, lastx = lastx - quotient*x, x
y, lasty = lasty - quotient*y, y
return lastremainder, lastx * (-1 if a < 0 else 1), lasty * (-1 if b < 0 else 1)
def modinv(self, a, m):
g, x, y = self.egcd(a, m)
if g != 1:
raise ValueError('modinv for {} does not exist'.format(a))
return x % m