如何演示 sigma(i/2^i)<=2 (i=1 to n)

Question

如何证明以下不等式：

sigma(i/2^i)<=2 (i=1 to n)

Answer 1

如果我们看一下系列，那么它看起来像：
我们认为 n = 无穷大作为总和的最大值。

S = 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 +.... + 0

- (1)
显然，

S/2 = 1/4 + 2/8 + 3/16 + 4/32 + ---- + 0

- (2)

(1) 减去 (2) 我们得到：

S/2 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 +... + 0

在这个

a = 1/2

和

r = 1/2

中，这个无限 gp 的总和是

a/(1-r) = 1/2/(1-1/2) = 1

所以S/2的最大值是1
那么 S 的最大值为 2 或

S <= 2

Answer 2

a + ar + ar^2 + ar^3 + ... 的和由 a / (1 - r) 给出。如果只有有限个项，则有一个非负余数，即总和为 [ a / (1 - r) ] - R。代入 a 和 r 的值，我得到 2 - R. 看来这是一致的<= 2. Q.E.D.

Answer 3

这里的答案都没有准确地解释这个问题。接受的答案也很模糊，该系列是错误的。所以我将在下面描述证明这一点的步骤。

1 =>Sigma(i/2^i)，其中 i 是 1 到 n 所以这个系列就像.. 2 => 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + ... 这实际上是一个算术几何级数 即 a + (a+d)r + (a+2d)r^2 + ... 让我们调整系列 1 以适应 agp 3 => 0 + 1/2 + 2/4 + 3/8 + ..

现在，假设 a = 0，r = 1/2，d = 1。这非常适合 agp 系列。

现在 (1) 即 Sigma(i/2^i)，其中 i 是 1 到 n 将始终是 <= infinite agp i.e where i is 1 to inf

无限 agp 级数之和公式为 a/1-r + dr/(1-r)^2

对于 (3)，总和为 0 + 1/2 / (1 - 1/2)^2 = 2

由此证明 (1) <= 2