什么是梯度方向和梯度幅度？

Question

我目前正在学习计算机视觉中一个名为边缘检测的模块，我想了解梯度方向和梯度幅度的含义。

Answer 1

如上所述 迪马 在他 回答你应该熟悉数学概念，即 梯度 以便更好地理解图像处理领域中的梯度。

我的答案是基于 回答 的 灭霸 对此 疑问.

这里你可以找到一个简单的黑色背景上的白色圆盘的初始图像，你可以计算这个图像的近似梯度。

你可以计算这个图像的梯度的近似值。正如Dima在他的答案中所解释的，你有两个梯度分量，一个水平分量和一个垂直分量。

下面的图像显示了水平分量。

它显示了图像中的灰度在水平方向上的变化程度(是正x方向，从左到右扫描图像)，这种变化被 "编码 "在水平分量图像的灰度中：平均灰度意味着没有变化，明亮的灰度意味着从暗值到亮值的变化，暗值意味着从亮值到暗值的变化。所以，在上图中，你看到圆圈左边部分的亮值，因为正是在初始图像的左边部分，你有黑到白的过渡，才有了圆盘的左边缘；同样，在上图中，你看到圆圈右边部分的暗值，因为正是在初始图像的右边部分，你有了白到黑的过渡，才有了圆盘的右边缘。在上图中，圆盘内部和背景处于平均灰度水平，因为圆盘内部和背景没有变化。

我们可以对垂直分量进行类似的观察，它显示了图像在垂直方向上的变化，即从上到下扫描图像。

现在你可以把这两个分量结合起来，以得到梯度的大小和梯度的方向。

下图是梯度的大小。

同样，在上图中，初始图像的变化被编码在灰度中： 这里你可以看到，白色意味着初始图像的高变化，而黑色意味着完全没有变化。所以，当你看梯度的大小图像时，你可以说 "如果图像是亮的，意味着初始图像有很大的变化；如果是暗的，意味着没有变化或变化很小"。

下图是梯度的方向。

在上图中，方向再次被编码为灰度级别：你可以把方向看成一个箭头的角度，从图像的暗部指向图像的亮部；这个角度被称为xy框架，其中x从左到右，y从上到下。在上图中，你可以看到从黑色（零度）到白色（360度）的所有灰度级别。我们可以用颜色对信息进行编码。

在上图中，信息是这样编码的：

红色： 角度在0到90度之间

青色：角度在90-180度之间。

绿色：角度在180-270度之间。

黄色：角度在270度和360度之间。

这里是制作上述图像的C++ OpenCV代码。

请注意，在计算方向时，我使用了函数 cv::phase 其中，正如在 文档当梯度的垂直分量和水平分量都为零时，给出的角度为0；这可能很方便，但从数学的角度来看，这显然是错误的，因为当两个分量都为零时，方向是没有定义的，而浮点C++类型中唯一有意义的方向值是一个 NaN.

这显然是错误的，因为比如0度的方向已经和水平边有关，不能用它来表示其他的东西，比如一个没有边的区域，所以一个区域的方向是没有意义的。

// original code by https://stackoverflow.com/users/951860/mevatron
// see https://stackoverflow.com/a/11157426/15485
// https://stackoverflow.com/users/15485/uvts-cvs added the code for saving x and y gradient component 

#include <opencv2/core/core.hpp>
#include <opencv2/highgui/highgui.hpp>
#include <opencv2/imgproc/imgproc.hpp>

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace cv;
using namespace std;

Mat mat2gray(const cv::Mat& src)
{
    Mat dst;
    normalize(src, dst, 0.0, 255.0, cv::NORM_MINMAX, CV_8U);

    return dst;
}

Mat orientationMap(const cv::Mat& mag, const cv::Mat& ori, double thresh = 1.0)
{
    Mat oriMap = Mat::zeros(ori.size(), CV_8UC3);
    Vec3b red(0, 0, 255);
    Vec3b cyan(255, 255, 0);
    Vec3b green(0, 255, 0);
    Vec3b yellow(0, 255, 255);
    for(int i = 0; i < mag.rows*mag.cols; i++)
    {
        float* magPixel = reinterpret_cast<float*>(mag.data + i*sizeof(float));
        if(*magPixel > thresh)
        {
            float* oriPixel = reinterpret_cast<float*>(ori.data + i*sizeof(float));
            Vec3b* mapPixel = reinterpret_cast<Vec3b*>(oriMap.data + i*3*sizeof(char));
            if(*oriPixel < 90.0)
                *mapPixel = red;
            else if(*oriPixel >= 90.0 && *oriPixel < 180.0)
                *mapPixel = cyan;
            else if(*oriPixel >= 180.0 && *oriPixel < 270.0)
                *mapPixel = green;
            else if(*oriPixel >= 270.0 && *oriPixel < 360.0)
                *mapPixel = yellow;
        }
    }

    return oriMap;
}

int main(int argc, char* argv[])
{
    Mat image = Mat::zeros(Size(320, 240), CV_8UC1);
    circle(image, Point(160, 120), 80, Scalar(255, 255, 255), -1, CV_AA);

    imshow("original", image);

    Mat Sx;
    Sobel(image, Sx, CV_32F, 1, 0, 3);

    Mat Sy;
    Sobel(image, Sy, CV_32F, 0, 1, 3);

    Mat mag, ori;
    magnitude(Sx, Sy, mag);
    phase(Sx, Sy, ori, true);

    Mat oriMap = orientationMap(mag, ori, 1.0);

    imshow("x", mat2gray(Sx));
    imshow("y", mat2gray(Sy));

    imwrite("hor.png",mat2gray(Sx));
    imwrite("ver.png",mat2gray(Sy));

    imshow("magnitude", mat2gray(mag));
    imshow("orientation", mat2gray(ori));
    imshow("orientation map", oriMap);
    waitKey();

    return 0;
}

Answer 2

两个变量x、y的函数的梯度是x、y方向的偏导数的向量。 所以如果你的函数是f(x,y)，梯度就是向量(f_x, f_y)。图像是(x,y)的离散函数，所以你也可以谈论图像的梯度。

图像的梯度有两部分：x衍生函数和y衍生函数。 所以，你可以把它看作是定义在每个像素上的向量(f_x, f_y)。 这些向量有一个方向atan(f_y fx)和一个幅度sqrt(f_x^2 + f_y^2)。 所以，你可以把图像的梯度表示为 x 衍生图像和 y 衍生图像，或者表示为方向图像和幅度图像。