如何在3D曲面上找到最接近该曲面外的点的点？

Question

我想在R3中具有代数表达式的表面上找到点B

f（x，y）= x ^ 3 + y ^ 2，

给定点A，因此点B在欧几里得距离中最接近，并且位于表面上。 [请注意，图中的表面不是x ^ 3 + y ^ 2，它仅是出于说明目的。

我不是Matlab用户，但是我发现函数fmincon或fminsearch可能是J. BAEK，A。DEOPURKAR和K. REDFIELD在此在线可访问paper中建议的方式（附录第24页）。或者，我想到了根据球体在A点附近的半径对球体进行参数化，并寻找球体与曲面的第一个切点，但这会产生更多问题。

对于fmincon，似乎第一件事就是定义一个最小化的函数，这在数学上是欧几里得距离：因此，如果点A在矩阵中，并且对应于A（：，1），而B是定义为（b1，b2，b3），则要最小化的公式为

（（A（1,1）-b1）^ 2 +（A（2,1）-b2）^ 2 +（A（3,1）-b3）^ 2

与第一条评论一样，由于B必须在表面上，因此约束条件为

b3 = b1 ^ 3 + b2 ^ 2。

我不知道如何在Matlab中对此进行形式化，以及我是否需要一些初始点来启动该过程，或者A是一个有效的起点。

Answer 1

您撰写此问题时，可以使用fminsearch解决。前段时间，我基于Matlab的NURB工具箱编写了一个代码来解决您的问题。您可以用所需的函数替换NurbEval。

function [ncoord] = ProjectOnSurf(coord,surf)
    %Computes the closest point to given point on a NURB surface.
    f=@(lambda) FitQuality(coord(1:3),lambda,surf);
    %Finde minimal distance
    lambda=fminsearch(f,coord(3));
    ck=NurbEval(edges{coord(5)},lambda)';
    ncoord=[ck(1:2),lambda,2,coord(5)];
end

function out=FitQuality(x,lambda,surf)
if min(lambda)<0
    out=norm([x,0]-NurbEval(surf,0)')+min(lambda)*-1;
elseif max(lambda)>1
    out=norm([x,0]-NurbEval(surf,0)')+max(lambda);
else
    out=norm([x,0]-NurbEval(surf,lambda)');
end
end