Coq：相关列表的类型不匹配，可以通过证明来解决

Question

在上次使用coq中的列表播放期间，我遇到了类型问题。但首先是定义；

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休闲列表：

Inductive list (a : Set) : Set :=
| nil : list a
| cons : a -> list a -> list a
.

Fixpoint len {a : Set} (l : list a) : nat :=
  match l with
  | nil _ => 0
  | cons _ _ t => 1 + (len t)
  end.

从属列表：

Inductive dlist (a : Set) : nat -> Set :=
| dnil : dlist a 0
| dcons : a -> forall n, dlist a n -> dlist a (S n)
.

转换：

Fixpoint from_d {a : Set} {n : nat} (l : dlist a n) : list a :=
  match l with
  | dnil _ => nil _
  | dcons _ h _ t => cons _ h (from_d t)
  end.

Fixpoint to_d {a : Set} (l : list a) : dlist a (len l) :=
  match l with
  | nil _ => dnil _
  | cons _ h t => dcons _ h _ (to_d t)
  end.

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严格来说，我想证明转换回旋处

Theorem d_round : forall (a : Set) (n : nat) (l : dlist a n),
    to_d (from_d l) = l.

但出现以下错误：

The term "l" has type "dlist a n" while it is expected to have type
 "dlist a (len (from_d l))".

这很容易理解，但是我完全不知道如何解决它。我可以轻松证明

forall (a : Set) (n : nat) (l : dlist a n), n = len (from_d l).

但是我看不出有任何方法可以使用该定理来说服Coq列表的长度保持不变。怎么做？

Answer 1

[您要证明的是异类相等，l和to_d (from_d l)具有不同的类型，因此无法与同质相等类型(=)进行比较。

如果理论上是可扩展的，那将是另一回事（相等类型是可转换的，但是您必须手动处理此差异。一种实现方法是定义一些与Leibniz原理相对应的transport：从x = y中得出任何P x -> P y的P。

Definition transport {A} {x y : A} (e : x = y) {P : A -> Type} (t : P x) : P y :=
  match e with
  | eq_refl => t
  end.

在您的情况下为n = m -> dlist A n -> dlist A m，因此您甚至可以使用专用版本。

定理可以这样表示：

Axiom e : forall (a : Set) (n : nat) (l : dlist a n), n = len (from_d l).

Theorem d_round : 
  forall (A : Set) (n : nat) (l : dlist A n),
    to_d (from_d l) = transport (e _ _ _) l.

现在，您必须处理妨碍自己的等式，但是自然数的等式是可以确定的，因此可以得出一个命题（n = m的任何两个证明总是相等的，特别是n = n的任何证明等于eq_refl；与transport eq_refl t = t充分结合的事实）。