从邻接表计算每个顶点的可达性

Question

考虑到DAG的邻接表Map<Vertex, Set<Vertex>>，我想计算每个顶点的可达性（即，是否存在从u到v的路径）。

static Map<Vertex, Set<Vertex>> reachability(Map<Vertex, Set<Vertex>> adjList) {}

我知道可以在O(V^3)中使用Floyd-Warshall

// Convert adjList to adjacency matrix mat
void reachability(boolean mat[][]) {
  final int N = mat.length;
  for (int k = 0; k < N; k++)
    for (int i = 0; i < N; i++)
      for (int j = 0; j < N; j++)
        mat[i][j] |= mat[i][k] && mat[k][j];
}

但是我有一个稀疏图（和邻接表），所以最快的方法是什么？

Answer 1

O(V*(V+E))解决方案可能是对图中的每个节点进行简单的BFS并计算其可达性集。假设|E| << |V|^2（您说图表是稀疏的），这比floyd-warshall显着更快（并且更容易编写代码）。

但是，这仍然不是最理想的，可以改进：

您的图是DAG，因此您可以先在topological sort中执行O(V+E)，然后从最后到第一个：

connected（v）=联合{connected（u）|对于所有边（v，u）} U {v}

这可以非常有效地计算，并为您提供时间复杂度O(|V|+|E|+k)的总答案，其中| V | -顶点数| E | -边数，k-连接对数（在最坏的情况下限制为O(|V|^2)）。

此解决方案即使在没有稀疏图形的情况下也可以为您提供O(|V|^2)最差的性能。

伪代码：

V = [v0,v1,...,vn-1]
V = topological_sort(V) //O(V+E)
connect = new Map:V->2^V //Map<Vertex,Set<Vertex>> in java
i = n-1
while (i >= 0):
   let v be the vertex in V[i]
   connected[v].add(v)
   for each edge (v,u):
      //since the graph is DAG, and we process in reverse order
      //the value of connected[u] is already known, so we can use it.
      connected[v].addAll(connected[u])

Answer 2

这是Scala中的一个简单的O(|V||E|)解决方案（基本上，对于每个顶点，都执行一个DFS：]

type AdjList[A] = Map[A, Set[A]]

def transitiveClosure[A](adjList: AdjList[A]): AdjList[A]  = {
  def dfs(seen: Set[A])(u: A): Set[A] = {
    require(!seen(u), s"Cycle detected with $u in it")
    (adjList(u) filterNot seen flatMap dfs(seen + u)) + u
  }
  adjList.keys map {u =>
    u -> dfs(Set.empty)(u)  
  } toMap
}

此处为可执行版本：http://scalafiddle.net/console/4f1730a9b124eea813b992edebc06840