查找单个节点的主导者列表（相对于单个入口节点）？

Question

在Tar​​jan的算法上有许多资源可以找到关于单个入口节点的支配树。但是，我只想找到树的单个节点的支配者。

有没有比使用Tarjan的O（m log n）时间算法更简单的方法来计算支配树，然后我们遍历树来查找特定节点的支配者？对于单节点情况，我想比O（m log n）时间更快地完成此操作。

Answer 1

虽然我不知道有任何现有算法可以做到这一点，但我可以想到一个。

让入口节点为根，目标节点（找到其支配者）为t。创建一个以root为根的DFS树。

现在请注意，t的支配者集合是DFS树上t的祖先的子集，并且只有前向边和交叉边可以“避免”从根到t的路径上的那些节点。所以：

• 对于每个节点节点，让f（节点）成为t的最高祖先，它可以到达节点而不会在t的任何其他祖先上行走。这可以通过记忆来计算线性时间。
• 对于每个交叉边x→y，其中y是t的祖先，所有作为f（x）的严格继承者和y的严格祖先的节点都不是t的支配者。 （因为路径根→...→f（x）→...→x→y→...→t不通过这些节点）

算法（O（n + m））将是：

• 以根为根目录创建DFS树。
• 将所有t的祖先标记为“可能的候选人”。
• 计算所有节点的f（节点）。
• 对于如上所述的每个x→y，使用求和表在O（1）时间内将路径f（x）→...→y（不包括端点）中的节点列表标记为“不能是支配者”。 （类似于总面积表但在1D中）
• 剩下的候选人是统治者。

不确定这是否更容易。