如何评估此行积分（Python-Sympy）

Question

想法是计算以下矢量场和曲线的线积分：

这是我尝试过的代码：

import numpy as np
from sympy import *
from sympy import Curve, line_integrate
from sympy.abc import x, y, t
C = Curve([cos(t) + 1, sin(t) + 1, 1 - cos(t) - sin(t)], (t, 0, 2*np.pi))
line_integrate(y * exp(x) +  x**2 + exp(x) + z**2 * exp(z), C, [x, y, z])

但是ValueError：Function参数应该是（x（t），y（t））但得到[cos（t）+ 1，sin（t）+ 1，-sin（t） - cos（t）+ 1]来起来。

那么我该如何计算这条线积分呢？

我认为这个行积分可能包含没有精确解的积分。如果您提供数值近似方法，也可以。

谢谢

Answer 1

您收到的价值错误并非来自您对line_integrate函数的调用;这是因为根据source code类的Curve，只支持2D欧几里德空间中的函数。根据this research blog，我发现只需在Google上搜索一个可行的方法，就可以在不使用sympy的情况下计算这个积分。

您需要的代码如下所示：

import autograd.numpy as np
from autograd import elementwise_grad, grad, jacobian
from scipy.integrate import quad

def F(X):
    x, y, z = X
    return [y * np.exp(x), x**2 + np.exp(x), z**2 * np.exp(z)]

def C(t):
    return np.array([np.cos(t) + 1, np.sin(t) + 1, 1 - np.cos(t) - np.sin(t)])

dCdt = jacobian(C, 0)

def integrand(t):
    return F(C(t)) @ dCdt(t)

I, e = quad(integrand, 0, 2 * np.pi)

变量I然后将数值解存储到您的问题中。

Answer 2

在这种情况下，您可以使用line_integrate计算积分，因为我们可以将3d积分减少到2d。我很遗憾地说我不太了解python以编写代码，但这是演习：如果我们写的话

C(t) = x(t),y(t),z(t)

然后需要注意的是

z(t) = 3 - x(t) - y(t)

所以

dz = -dx - dy

所以，我们可以写

F.dr = Fx*dx + Fy*dy + Fz*dz
     = (Fx-Fz)*dx + (Fy-Fz)*dy

所以我们把问题减少到了第二个问题：我们整合了

G = (Fx-Fz)*i + (Fx-Fz)*j

回合

t -> x(t), y(t)

请注意，在G中我们需要通过替换来摆脱z

z = 3 - x - y