Matlab 或 Mathematica：需要帮助计算未知命名分布和正态随机变量之和的 Pdf

Question

是否可以应用卷积定理或 Mathematica 之类的软件来找到

Z = R + X

的 pdf 的封闭形式表达式，其中

f_R(r;k,d) = kdr^(d-1)(1-r^d)^(k-1)

和

X

是未知方差的零均值高斯 r.v。

r ~ [0,1]

和 pdf

f_R(r;k,d)

与绘制距离为

r

的一个点的概率乘以绘制距离为

k-1

的点的概率有关。我不知道如何在 Mathematica 或 Matlab 中指定未知分布，如果需要在分析困难/不可能的情况下使用它来计算闭合形式表达式。

在 Mathematica 中，我们可以使用现有的命名分布，例如

> r

但如何使用

NormalDistribution[mu, std]

？

Answer 1

k

和 d 正整数，卷积积分可以用已知的标准正态分布的矩来表示（参见示例 here）。 让

f(r)

表示标准正态 pdf，让 h(r) 表示问题中的另一个 pdf，

。

用

二项式定理

展开项 (1-r^d)^k-1，g(r) 可以表示为 br 形式的项之和s^，其中 s 是整数，如果 k 和 d 是。令f和g的卷积表示为h：

该积分可以表示为以下形式的项之和

乘以常数（“常数”是指不依赖于积分变量的术语，因此可以从积分中移出）。再次展开 (

r

-t)s ^{给出形式为 r}m^·tn ^{的项。因此积分可以表示为项之和}

乘以常数。这些项由正态分布的矩给出。