tikz到[out =，in =]`曲线后面的公式

Question

在Tikz manual的14.13节中，它们定义了像\draw $node1 to [out=90, in=180] $node2一样的参数曲线函数。 PDF中的示例类似于

我的问题是：这条曲线后面是什么样的数学公式？

[我的第一个猜测是，它绘制了一个三点Bezier曲线，其控制点是out=和in=参数定义的两条线的交叉点，但它看起来是错误的。

Answer 1

人们总是可以要求Ti k Z向我们展示他们的工作方式。一种工具是show path construction装饰，请参阅第40页。 pgfmanual v3.1.5的645]

我复制了curveto部分，并根据问题进行了调整。

\documentclass[tikz,border=3.14mm]{standalone}
\usetikzlibrary{decorations.pathreplacing}
\tikzset{how does TikZ do that/.style={postaction=decorate,
decoration={show path construction, 
moveto code={},
lineto code={},
curveto code={
\draw [green!75!black,->] (\tikzinputsegmentfirst) .. controls
(\tikzinputsegmentsupporta) and (\tikzinputsegmentsupportb) ..(\tikzinputsegmentlast);
\draw[red,dashed] (\tikzinputsegmentfirst) node[dot,label=above left:start]{}
 -- (\tikzinputsegmentsupporta)  node[dot,label=above left:first control]{};
\draw[red,dashed] (\tikzinputsegmentlast) node[dot,label=above right:target]{}
 -- (\tikzinputsegmentsupportb)  node[dot,label=above:second control]{};
},
closepath code={},
}},dot/.style={circle,inner sep=1.5pt,fill}}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw[how does TikZ do that] (0,0) to[out=90,in=180] (3,2);
\end{tikzpicture}
\end{document}

因此，我们看到这只是三次贝塞尔曲线，其中根据斜率选择了控制点。您可以通过更改松散度来更改虚线的长度，即控制点到起点和目标的距离。尝试例如

\draw[how does TikZ do that] (0,0) to[out=90,in=180,looseness=1.5] (3,2); 

一个人可以分别更改in looseness和out looseness。它们控制各个虚线的长度。

技术细节，即基础代码，可以在tikzlibrarytopaths.code.tex中找到，该文件会自动加载。

通常，如show path construction装饰所建议的，单个路径是以下之一：

1. 移至，
2. 行到，
3. 弯曲到，
4. 关闭路径。

curve to路径是三次贝塞尔曲线或二次贝塞尔曲线，其中二次可以看作三次三次的特例。三次贝塞尔曲线的可能参数化可以在第（4）页的“ [46.2计算边界框]”部分的方程式（1）中找到。 pgfmanual v3.1.5的581。