这组代码可以做哪些改进来生成这个问题的解决方案？

Question

除了增加 y 的范围（-1000 到 1000 之间）之外，我还应该对这些代码进行哪些其他改进，以便当我在任何 pari gp 在线编译器上运行它时，它会返回非常有效的答案？

当我在 -1000 到 1000 以及 -10000 到 10000 的范围内运行这些代码时，它返回了一些答案，但没有返回超出这些范围的答案。虽然我知道在 y: -10^12 到 10^12 的范围之间，有一些理想的解决方案，例如当 y = 22 741 480 906 时，我不知道还能做什么才能系统地得到这样的结果除了如上所述增加 y 的范围之外。

{
 for(y=-1000, 1000,
    H= hyperellratpoints((16224+'w^3-624*'w*y-3*'w^2*y^2+1248*y^3+3*'w*y^4-3*y^6)/6, 10^7);
    for(i=1, #H,
      z= H[i][2];
      if(z>0, if(z==floor(z),
        w= H[i][1];
        k= (w^2-624*y+3*y^4)/144;
        if(k==floor(k),
          x= (3*y^2-w)/12;
          if(x==floor(x),
            if(x!=0, if(12*x^2-6*y^2*x+y*(y^3-52)-12*k==0 && -z^2+(y^3-52)^2-288*k*x==0,
              print("("x", "y", "z", "k")")
            ))
          )
        )
      ))
    )
 )
}

Answer 1

粗略地看一下你的代码，似乎你正在寻找一个方程

6*z^2 = P(y,w)

的整数解，对于一些具有整数系数的显式多项式

P

，并且你还需要两个辅助量是积分的。为此，您可以尝试在一定范围内尝试

y

的所有积分值，计算每个此类

y

方程

z^2=P/6

的有界高度的所有有理解，然后使用各种测试进行筛选（特别是

z > 0 

）。

回答你的主要问题：PARI/GP 中没有现成的函数来查找一般曲面上的整数点。

你可以而且应该做的是

1. 尽可能地在算术上简化问题。例如，如果

   y

   、

   w

   和

   x = (3y^2-w)/12

   是积分，则 3 除

   w = 3W

   并且您现在希望

   x = (y^2 - W) / 4

   是积分，这意味着 'y'、'w' 和 'W' 以及相同的奇偶校验（事实上

   4 | W

   当偶数时，与 1 mod 4 全等）。

此时您可能想将问题分为两种情况：

y

奇数或偶数等。完成后尽可能使用新变量。然后可以删除所有完整性测试：如果新变量中有积分解，它们将自动满足整除条件（并且除以常量会简化）。

2. 我不知道你为什么要检查

   12*x^2-6*y^2*x+y*(y^3-52)-12*k==0

   和

   -z^2+(y^3-52)^2-288*k*x==0

   ，因为两者都正式遵循

   k

   和

   x

   的定义，因此总是正确的。

3. 特殊情况

   x = 0

   （或

   y = 3*w^2

   ）提供了微不足道的解决方案，因为你的方程变成了

   z = |y^3 - 52|

   （我知道你排除了这些）。

4. 这一切都归结为寻找方程

   a^2 = Q(b,c)

   的积分解，其中看到的每个人都是积分。您要么必须更多地了解曲面的几何形状（例如，了解为什么

   x = 0

   会导致所有这些琐碎的解决方案），要么简单地在某个范围内循环

   b,c

   积分并检查结果是否是正方形。该测试速度非常快，您当然可以在一台计算机上在合理的时间内检查大约 10^16 对

   (b,c)

   。 （如果您可以访问计算集群，则为 10^20。）

最后一点：要测试

x

是否是 PARI/GP 中的整数（在我推荐的版本中不再需要），请使用

type(x) == "t_INT"

或

denominator(x) == 1

（如果您已经知道

x

是有理数）数量。