为什么没有任何轮廓字体格式使用四阶或更高阶的贝塞尔曲线？

Question

TrueType 使用二阶，OpenType 使用三阶。为什么不更高？

那是因为它们的渲染时间/空间复杂度太大了吗？在那种情况下，我想知道它们在大 O 符号中的复杂性。

Answer 1

你不能 design 使用更高阶的贝塞尔曲线，这仍然是创建字体最重要的方面。具有间接影响曲线的浮动控制点会使工作更难，而不是更容易。因此，虽然使用三次曲线而不是二次曲线具有客观价值（更好的弧近似、更简洁的曲线表达式等），但使用四次（或更高）而不是三次曲线并没有明显的好处。事实上，二次/立方可以依赖的一些属性不适用于四次或以上，在设计阶段需要缓慢和 cpu 密集型算法，客观上使它们更难使用。因此，没有人提出允许它们的系统。

至于复杂性：绘制曲线的最坏情况（使用

s

步骤的简单扁平化）具有

s

次（n-1）插值次（n-2）次插值等的复杂性，直到最终插值产生我们在

t

的坐标，即

s * n(n-1)/2

给我们一个O（n²）的大O符号。

虽然这里应该注意一些：在低

n

时，“好看”的曲线需要

s

的值，它可以 相当 比 n² 大，所以即使它在技术上是一个常数，它更有用看实际数字而不是大 O:

订单	坐标	插值	绘制曲线的插值次数	合理 s
2	3	2+1	3秒	8~16
3	4	3+2+1	6s	16~32
4	5	4+3+2+1	10s	32~64
5	6	5+4+3+2+1	15s	...
6	7	6+5+4+3+2+1	21s	...
7	8	...	28s	...
8	...	...	36s	...

曲线阶数越高，我们需要的步骤就越多，以确保事情看起来至少“合理”。

将其与使用“多个低阶曲线”进行比较：

立方数	绘制完整曲线的插值次数
2	12s
3	18s
4	24s
5	30s
6	36s
...	...

收益递减：使用三次 polyBeziers 绘制高阶曲线变得很多便宜，非常快。对于单个 8 阶贝塞尔曲线的相同价格，我们可以绘制 六个 三次贝塞尔曲线，并且当我们只想调整一小部分时，所得曲线将非常容易操作。