如何将正方形上的坐标转换为圆上的坐标？

Question

我正在开发一款独立视频游戏，并且一直在这样的假设下进行操作：因为我的控制器上的拇指杆具有圆形运动范围，所以它返回“圆形”坐标；也就是说，笛卡尔坐标被限制在一个圆形区域（半径为 1）。事实上，坐标是“正方形”；例如，右上角的拇指杆位置注册为 x=1,y=1。当我将坐标从笛卡尔坐标转换为极坐标时，幅度可能会超过 1 - 这会导致玩家沿对角线移动的速度比垂直或水平移动的速度更快。

所以，为了澄清，我想用方向和幅度来记录模拟摇杆的位置，其中幅度在 0 和 1 之间。摇杆返回方形平面上的坐标，因此只需将坐标从笛卡尔坐标转换为极性还不够。我想我需要转换坐标空间，但这已经突破了我猴脑的极限。

Answer 1

请参阅将正方形映射到圆形。映射还有一个很好的可视化效果。你得到：

xCircle = xSquare * sqrt(1 - 0.5*ySquare^2)
yCircle = ySquare * sqrt(1 - 0.5*xSquare^2)

Answer 2

映射不是唯一的。这个问题还有很多其他的解决方案。

例如，这个映射也可以工作

u = x √(x² + y² - x²y²) / √(x² + y²)

v = y √(x² + y² - x²y²) / √(x² + y²)

其中 (u,v) 是圆盘坐标，(x,y) 是方坐标。

一张图片胜过一千个单词，所以这里有一些图像来说明映射及其逆的非唯一性。

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其他映射的

For a C++ implementation

，请转至
http://squirulous.blogspot.com/2015/09/fg-squircle-mapping.html
请参阅 http://squirular.blogspot.com 了解更多映射结果图像。

另请参阅“使圆盘平方的分析方法”，了解讨论不同映射方程及其证明和推导的论文。

Answer 3

将每个值除以幅度，将所有值标准化为单位向量，例如

magn = sqrt(x * x + y * y);
newx = magn > 1.0 ? x / magn : x;
newy = magn > 1.0 ? y / magn : y;

但是，这可能会产生裁剪幅度的效果，而不是对内部值进行标准化。也就是说，对于“完全”推入左上角的控制器和“几乎”推入的控制器，您将获得相同的值完全朝着同一个方向。

Answer 4

我最近不得不在 JavaScript 中做类似的事情，并创建了一种将单位正方形的

X

和

Y

标准化（或映射？）到四分之一单位圆的方法，将速度导出为

V

，将方向导出为

d

。这用于生成具有随机值的流场网格点。我使用

(n * 2) - 1

来获取

X

和

Y

值，其中

n

是

0

和

1

之间的随机数。 X 和 Y 的值在

-1

和

1

之间。首先，我们得到

h

的斜边或

X,Y

。

h = √(X² + Y²)

然后我们得到

∆

和

X

之间的角度，即

h

，作为绝对值

|•|

。我们得到绝对值，所以我们不会得到负值

V

∆ = |arcsin(X/h)|

现在我们有了角度，我们可以沿着该角度延伸斜边。我们通过将

X

最大化到 1 来实现这一点。我们称之为

h'

h' = 1/cos(∆)

因为我们使用了绝对值，所以这会改变沿原点的方向。我们这样解释。

q = 45(π/180)

if (∆ ≥ q) h' = 1/cos(q - (∆ mod q))

这样，现在我们可以用

h

标准化

h'

。

V = h/h'

为了获得真正的

∆

或

d

，我们必须用一些案例逻辑来纠正它的方向。我们将使用度数转换为弧度，然后使用之前计算的

∆

。

逻辑如下：

(X ≥ 0)?(Y ≥ 0)?toRad(90) mod ∆: ∆ + toRad(270):(Y ≤ 0)? ∆ + toRad(180): ∆ + toRad(90)

澄清一下，每种情况都对应于网格/圆的一个象限。

如果

X ≥ 0
• 和

  Y ≥ 0

  ，则

  toRad(90) mod ∆

  如果
X ≥ 0
• 和

  Y < 0

  ，则

  ∆ + toRad(270)

  如果
X < 0
• 和

  Y ≤ 0

  ，则

  ∆ + toRad(180)

  如果
X < 0
• 和

  Y > 0

  ，则

  ∆ + toRad(90)

这将为您提供以弧度为单位的方向旋转。请注意，将 360° 重置回 0 可能会很有用。

这基本上就是我想出的。在某种程度上，它对值进行插值，使其保持在 0 和 1 之间，因此像

1,0

和

1,1

这样的值都等于 1。其中

1,0

是 100% 向右，

1,1

是 100% 向上/向右前进。

X

和

Y

的负值只会沿各自的轴翻转方向。如果

X,Y

等于 0，则

V

和

d

也为 0。我希望这可以帮助人们避免将来头痛。