如何检查向量是否面向相同的方向

Question

我正在研究一个问题，我在一个右手坐标系中工作，其中y轴是直线上升的。我提供了一个表示三维向量的结构，如下所示：

struct vec{float x; float y; float z; };

我需要编写一个函数，它接受一个代表北方的单位向量，一个单位向量代表一个玩家的前向向量，如果它们面向的是北方而不是南方，则返回。不幸的是我不知道从哪里开始，我相信我必须这样做：

PlayerDirection = sqrt((PlayerVector.x *= PlayerVector.x)
                     + (PlayerVector.y *= PlayerVector.y)
                     + (PlayerVector.z *= PlayerVector.z));

但我不知道从哪里开始。任何帮助/解释都会有所帮助，谢谢。

Answer 1

将点积应用于两个向量。如果两个矢量之间的角度小于90度，则点积为正，否则为负。

Answer 2

您包含的公式（包含错误 - 产品为“*”，而不是“* =”）为您提供移动的实体 - 向量的长度。您已经知道，因为它是一个单位向量，因此长度为1。

您需要在两个向量之间执行dot product。如果两个单位向量完全对齐（平行），则得1;如果它们是反平行的，则得-1，如果它们彼此正常，则得0。

“北越南”意味着标量积为正，因此：

如果他们面向北方而不是南方则返回

Alignment =  ((PlayerVector.x * NorthVector.x)
            + (PlayerVector.y * NorthVector.y)
            + (PlayerVector.z * NorthVector.z));

return (Alignment > 0);

Questions

如果我想知道它是否面向东/西？

点积告诉您两个向量对齐了多少。它与Kevin Glasson所示的公式相同，没有单位向量范数，因为它们是1，除以1不会改变任何东西。

所以，除了另一个向量之外，你不能用它来判断向量面向的位置。这就是你被赋予北向量的原因;单独使用播放器矢量，您无法运行点积。要判断玩家是否面向东方，您需要东向量（或西向量，然后采用相反的符号）。

所以，如果数字以35表示回来，则意味着它面向北方而不是南方，但为什么呢？

为什么会这样：你可以在维基百科页面上找到它解释，点积等于两个长度乘以它们角度的余弦的乘积。由于长度均为1，因此它只是余弦。余弦在1和-1之间变化（所以你不能得到35）。当余弦为1时，意味着角度为零，矢量对齐;当它是-1时，它们是相反的。零的余弦意味着矢量彼此正常，即形成90°的角度，在这种情况下，它意味着玩家面向东方，西方，或向上或向下 - 但它不会告诉你哪一个。

Answer 3

我认为可行的是采用向量的'dot product'。使用以下表格：

你将在哪里重新安排theta。这将为您提供两个向量之间的角度。

在我看来，至少如果角度是0那么你指向的是北方，如果角度大于90，那么你面向更南方。

我不知道你打算如何使用它，但这应该能够在3D空间中从南方告诉北方。

Answer 4

那么你可以使用点积来获得2个向量之间的角度。公式如下：

cos(phi) = (a * b) / (|a|*|b|)

哪个转换为：

phi = acos((ax*bx + ay*by + az * bz) / (sqrt(ax^2 + ay^2 + az^2)+sqrt(bx^2 + by^2 + bz^2)))

现在点积是对称的，意思是：（1,1,1）（2,2,2）给出与（2,2,2）（1,1,1）相同的结果。因此，您必须再添加一步。通过添加第三个向量，其角度与您知道的第一个给定向量，您可以验证两个向量之间的真实角度。选择该参考矢量可以通过将第一个矢量绕一个轴来完成，现在为了确保它是一个有效的参考，它必须与矢量a和b在同一平面上。这意味着转动第一个矢量arround的轴必须与矢量1和2正交，2个矢量的矢量产生一个与两者正交的矢量，因此我们将使用如此获得的矢量作为轴。

axis = a x b

这相当于：

axis = (aybz-azby, azbx-axbz, axby-aybx)

要围绕轴将矢量旋转给定量，必须执行以下操作：

double R[3][3] = {};
            Vector axis = Axis.getUnitVector();
            double deg = degrees / 180 * M_PI;
            R[0][0] = axis.X * axis.X * (1 - cos(deg)) + cos(deg); R[0][1] = axis.X * axis.Y * (1 - cos(deg)) - axis.Z * sin(deg); R[0][2] = axis.X * axis.Z * (1 - cos(deg)) + axis.Y * sin(deg);
            R[1][0] = axis.Y * axis.X * (1 - cos(deg)) + axis.Z * sin(deg); R[1][1] = axis.Y * axis.Y * (1 - cos(deg)) + cos(deg); R[1][2] = axis.Y * axis.Z * (1 - cos(deg)) - axis.X * sin(deg);
            R[2][0] = axis.Z * axis.X * (1 - cos(deg)) - axis.Y * sin(deg); R[2][1] = axis.Z * axis.Y * (1 - cos(deg)) + axis.X * sin(deg); R[2][2] = axis.Z * axis.Z * (1 - cos(deg)) + cos(deg);
            double x = this->X * R[0][0] + this->Y * R[0][1] + this->Z * R[0][2];
            double y = this->X * R[1][0] + this->Y * R[1][1] + this->Z * R[1][2];
            double z = this->X * R[2][0] + this->Y * R[2][1] + this->Z * R[2][2];

unitvector定义如下：

e_a = (ax / sqrt(ax^2+ay^2+az^2),ay / sqrt(ax^2+ay^2+az^2),az / sqrt(ax^2+ay^2+az^2))

使用这个新轴，我们可以将第一个矢量旋转90°。通过计算我们的参考和第二个矢量之间的角度，我们现在可以评估第一个和第二个矢量之间的实际角度。如果与参考的角度大于90°，​​则第二个矢量位于第3或第4个扇区或笛卡尔坐标系中，意味着要获得真实角度，我们必须从第一个和第二个矢量之间减去我们获取的角度360°。如果与参考的角度小于90°，​​则计算的角度是实际角度。

现在还有另一个问题，北方是什么/哪里？如果我们知道北方，我们可以计算出北方和两个向量之间的角度，而角度较小的那个将更加北方。这意味着没有理由评估参考向量或构建并应用旋转矩阵。

如果是固定的北方，您还可以将矢量投影到包含北方的平面上，并简化所需的计算。提供更多信息，我将对此进行编辑。

编辑：/因为你提供了北方和一个玩家矢量，只需计算它们之间的角度。