python scipy.stats.powerlaw否定指数

Question

我想为scipy.stats.powerlaw例程提供一个负指数，例如a = -1.5，为了绘制随机样本：

"""
powerlaw.pdf(x, a) = a * x**(a-1)
"""

from scipy.stats import powerlaw
R = powerlaw.rvs(a, size=100)

为什么需要> 0，如何提供负a以生成随机样本，以及如何提供归一化系数/变换，即

PDF(x,C,a) = C * x**a

文档在这里

http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.powerlaw.html

谢谢！

编辑：我应该补充一点，我正在尝试复制IDL的RANDOMP函数：

http://idlastro.gsfc.nasa.gov/ftp/pro/math/randomp.pro

Answer 1

在其域上集成的PDF必须等于一个。换句话说，概率密度函数曲线下的面积必须等于1。

In [36]: import scipy.integrate as integrate
In [40]: y, err = integrate.quad(lambda x: 0.5*x**(-0.5), 0, 1)

In [41]: y
Out[41]: 0.9999999999999998  # The integral is close to 1

powerlaw密度函数具有0 <= x <= 1的域。在该域上，x**b的积分对于任何b> -1都是有限的。当b较小时，x**b在x = 0附近爆炸太快。所以当b <= -1时它不是一个有效的概率密度函数。

In [38]: integrate.quad(lambda x: x**(-1), 0, 1)
UserWarning: The maximum number of subdivisions (50) has been achieved...
# The integral blows up

因此，对于x**(a-1)，a必须满足a-1 > -1或等同地，a > 0。

a中的第一个常数a * x**(a-1)是归一化常数，它使得a * x**(a-1)在域[0,1]上的积分等于1.所以你不能选择这个常数独立于a。

现在，如果您将域更改为距离0可测量的距离，则是，您可以为负C * x**a定义a形式的PDF。但是你必须说出你想要的域名，我认为scipy.stats中还没有（可用）PDF。

Answer 2

如果r是均匀随机偏差U（0,1），则下面表达式中的x是幂律分布随机偏差：

x = xmin * (1-r) ** (-1/(alpha-1))

其中xmin是幂律分布所在的最小（正）值，而alpha是分布的指数。

Answer 3

Python包powerlaw可以做到这一点。考虑a>1具有概率密度函数的幂律分布

f(x) = c * x^(-a) 

对于x > x_min和f(x) = 0否则。这里c是一个归一化因子，并被确定为

c = (a-1) * x_min^(a-1).

在下面的示例中，它是a = 1.5和x_min = 1.0，并将从随机样本估计的概率密度函数与上面表达式中的PDF进行比较，得出预期结果。

import matplotlib
matplotlib.use('Agg')
import matplotlib.pyplot as pl

import numpy as np
import powerlaw

a, xmin = 1.5, 1.0
N = 10000

# generates random variates of power law distribution
vrs = powerlaw.Power_Law(xmin=xmin, parameters=[a]).generate_random(N)

# plotting the PDF estimated from variates
bin_min, bin_max = np.min(vrs), np.max(vrs)
bins = 10**(np.linspace(np.log10(bin_min), np.log10(bin_max), 100))
counts, edges = np.histogram(vrs, bins, density=True)
centers = (edges[1:] + edges[:-1])/2.

# plotting the expected PDF 
xs = np.linspace(bin_min, bin_max, 100000)
pl.plot(xs, [(a-1)*xmin**(a-1)*x**(-a) for x in xs], color='red')
pl.plot(centers, counts, '.')

pl.xscale('log')
pl.yscale('log')

pl.savefig('powerlaw_variates.png')

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Answer 4

如果要生成幂律分布，可以使用随机偏差。你只需要在[0,1]之间生成一个随机数并应用逆方法（Wolfran）。在这种情况下，概率密度函数是：

p（k）= k ^（ - gamma）

y是0和1之间的变量均匀。

y~U（0,1）

import numpy as np

def power_law(k_min, k_max, y, gamma):
    return ((k_max**(-gamma+1) - k_min**(-gamma+1))*y  + k_min**(-gamma+1.0))**1.0/(-gamma + 1.0)

现在要生成分发，您只需创建一个数组

nodes = 1000
scale_free_distribution = np.zeros(nodes, float)
k_min = 1.0
k_max = 100*k_min
gamma = 3.0

for n in range(nodes):
    scale_free_distribution[n] = power_law(k_min, k_max,np.random.uniform(0,1), gamma)

这将产生伽马= 3.0的幂律分布，如果你想要确定分布的平均值，你必须研究Complex Networks导致k_min取决于k_max和平均锥度。