强大和封闭的教育者的概括

Question

我正在研究那些强大而封闭的教师：

class Profunctor p where
    dimap :: (a' -> a) -> (b -> b') -> p a b -> p a' b'
class Profunctor p => Strong p where
    strong :: p a b -> p (c, a) (c, b)
class Profunctor p => Closed p where
    closed :: p a b -> p (c -> a) (c -> b)

（(,)是一个对称的bifunctor，所以它相当于“profunctors”包中的定义。）

我注意到(->) a和(,) a都是endofunctors。似乎Strong和Closed有类似的形式：

class (Functor f, Profunctor p) => C f p where
    c :: p a b -> p (f a) (f b)

实际上，如果我们看一下法律，有些也有类似的形式：

strong . strong ≡ dimap unassoc assoc . strong
closed . closed ≡ dimap uncurry curry . closed

lmap (first f) . strong ≡ rmap (first f) . strong
lmap (. f)     . closed ≡ rmap (. f)     . closed

这些都是一些普遍情况的特例吗？

Answer 1

您可以将Choice添加到列表中。 Strong和Choice（或者像Jeremy Gibbons所说的笛卡儿和cocartesian）都是Tambara模块的例子。我在Closed的博客文章（跳到讨论部分）中讨论了包含profunctor optics的一般模式，名称为Related。

Answer 2

非常有趣。这不是一个真正的答案，只是想法......

所以我们需要的是对(,)和(->)的抽象，它提供了assoc / curry和first / precompose的概括。我将解决前者：

class Isotropic f where
  lefty :: f a (f b c) -> f (a,b) c
  righty :: f (a,b) c -> f a (f b c)
  -- lefty ≡ righty⁻¹

instance Isotropic (,) where
  lefty (a,(b,c)) = ((a,b),c)
  righty ((a,b),c) = (a,(b,c))

instance Isotropic (->) where
  lefty = uncurry
  righty = curry

简单。问题是，还有其他任何情况吗？肯定是微不足道的

newtype Biconst c a b = Biconst c

instance Isotropic (Biconst c) where
  lefty (Biconst c) = Biconst c
  righty (Biconst c) = Biconst c

然后得到的profunctor

class Profunctor p => Stubborn p where
  stubborn :: p a b -> p (Biconst d c a) (Biconst d c b)

也可以写

class Profunctor p => Stubborn p where
  stubborn :: p a b -> p d d

但是这种情况似乎也变得非常微不足道，任何用途：

instance Stubborn (->) where
  stubborn _ = id
instance (Monad m) => Stubborn (Kleisli m) where
  stubborn (Kleisli _) = Kleisli pure
instance (Monoid m) => Stubborn (Forget m) where
  stubborn (Forget _) = Forget $ const mempty

我怀疑(,)和(->)确实是唯一有用的案例，因为它们分别是“免费的bifunctor”/“free profunctor”。