Python 中的勒让德多项式

Question

如何生成 [0,1] 上勒让德多项式的正交基？

我尝试使用许多模块，但它们通常不提供标准化和间隔更改。是否有一些通用的标准化因素？或者间隔变化的公式？

Answer 1

你可以用

[-1, 1]

得到

scipy.special.legendre

上的勒让德多项式。它们是正交的，但不是正交的。但已知，

Ln(x)*Ln(x)

在

[-1, 1]

上的积分为

2 / (2*n +1)

，其中

Ln

表示

n

次勒让德多项式。因此，您可以按如下方式对勒让德多项式进行归一化：

import scipy.integrate as integrate
from scipy.special import legendre
from math import sqrt

l3 = legendre(3, monic=False)

integrate.quad(lambda x: l3(x)*l3(x), -1, 1) # = 2 / (2*degree + 1)

def l3normalized(x):
    return sqrt((2*3 + 1) / 2) * l3(x)

integrate.quad(lambda x: l3normalized(x)*l3normalized(x), -1, 1) # = 1

现在，要更改间隔，您可以对变量进行线性更改：通过

Pn

在

[0, 1]

上定义

Pn(x) = sqrt(2) * Ln_normalized(2*x-1)

。那么

Pn

是正交的。

import scipy.integrate as integrate
from scipy.special import legendre
from math import sqrt

l3 = legendre(3, monic=False)

integrate.quad(lambda x: l3(x)*l3(x), -1, 1) # = 2 / (2*degree + 1)

def l3normalized(x):
    return sqrt((2*3 + 1) / 2) * l3(x)

integrate.quad(lambda x: l3normalized(x)*l3normalized(x), -1, 1) # = 1

l4 = legendre(4, monic=False)
def l4normalized(x):
    return sqrt((2*4 + 1) / 2) * l4(x)

def p3(x):
    return sqrt(2) * l3normalized(2*x-1)

def p4(x):
    return sqrt(2) * l4normalized(2*x-1)

integrate.quad(lambda x: p3(x)*p3(x), 0, 1) # = 1
integrate.quad(lambda x: p3(x)*p4(x), 0, 1) # = 0