离散傅立叶变换：如何正确使用fftshift与fft

Question

我想对 numpy 数组 Y 进行数值计算。为了测试，我使用高斯函数 Y = exp(-x^2)。 （符号）傅立叶变换为 Y' = 常数 * exp(-k^2/4)。

import numpy
X = numpy.arange(-100,100)
Y = numpy.exp(-(X/5.0)**2)

天真的方法失败了：

from numpy.fft import *
from matplotlib import pyplot

def plotReIm(x,y):
    f = pyplot.figure()
    ax = f.add_subplot(111)
    ax.plot(x, numpy.real(y), 'b', label='R()')
    ax.plot(x, numpy.imag(y), 'r:', label='I()')
    ax.plot(x, numpy.abs(y), 'k--', label='abs()')
    ax.legend()


Y_k = fftshift(fft(Y))
k = fftshift(fftfreq(len(Y)))
plotReIm(k,Y_k)

real(Y_k) 在正值和负值之间跳跃，这对应于跳跃阶段，该阶段不存在于符号结果中。这当然是不可取的。 （从技术上来说，结果是正确的，abs(Y_k) 给出了预期的幅度，ifft(Y_k) 是 Y。）

这里，函数fftshift()将数组k单调递增并相应地改变Y_k。对两个向量应用此操作不会改变 zip(k, Y_k) 对。

此更改似乎解决了问题：

Y_k = fftshift(fft(ifftshift(Y)))
k = fftshift(fftfreq(len(Y)))
plotReIm(k,Y_k)

如果需要单调 Y 和 Y_k，这是使用 fft() 函数的正确方法吗？

上面的逆运算是：

Yx = fftshift(ifft(ifftshift(Y_k)))
x = fftshift(fftfreq(len(Y_k), k[1] - k[0]))
plotReIm(x,Yx) 

对于这种情况，文档明确指出 Y_k 的排序必须与 fft() 和 fftfreq() 的输出兼容，我们可以通过应用 ifftshift() 来实现。

这些问题已经困扰我很长时间了：fft() 和 ifft() 的输出和输入数组是否始终满足

a[0] should contain the zero frequency term, a[1:n/2+1] should contain the positive-frequency terms, and a[n/2+1:] should contain the negative-frequency terms, in order of decreasingly negative frequency

[numpy 参考]，其中“频率”是自变量？

关于高斯的傅立叶变换不是高斯的答案并没有回答我的问题。

Answer 1

FFT 可以被认为是产生一组向量，每个向量都有幅度和相位。 fft_shift 操作将零相位角的参考点从 FFT 孔径的边缘更改为原始输入数据向量的中心。

完成此操作后，结果的相位（以及复向量的实部）有时会减少“跳跃”，特别是如果某些输入函数被加窗，使其在 FFT 孔径边缘周围不连续。或者，如果输入围绕 FFT 孔径中心对称，则 FFT 结果的相位在 fft_shift 后将始终为零。

fft_shift 可以通过 N/2 的向量旋转来完成，或者通过简单地翻转 FFT 结果中的交替符号位来完成，这可能对 CPU dcache 更友好。

Answer 2

fft

（和

ifft

）输出的定义在这里：http://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/routines.fft.html#background-information

这就是例程计算的内容，不多也不少。观察到离散傅里叶变换与连续傅里叶变换有很大不同。对于密集采样函数，两者之间存在关系，但这种关系除了

fftshift

之外还涉及相位因子和缩放。这就是您在图中看到的振荡的原因。您可以根据上述 DFT 数学公式自行计算出必要的相位因子。

Answer 3

考虑你的代码，但让我们缩小你的范围

import numpy as np
X = np.array([-1, 0, 1])
Y = np.exp(-(X/5.0)**2)

您希望离散零索引 Y[0] 与 X==0 一致，但这可能只能通过

来实现

ifftshift([-1,0,1]) #[0,1,-1]

注意 ffthift 和 ifftshift 只是循环移位操作

import numpy as np
from np.fft import fftshift
from np.fft import ifftshift
def _fftshift(x):
    centerElement = len(x)//2
    return np.roll(x, centerElement)

def _ifftshift(x):
    centerElement = (len(x)+1)//2
    return np.roll(x, centerElement)

如果您想摆脱使用 ifftshift 并仍然获得与使用相同的效果该怎么办

fft(ifftshift(x))

？