假设 SymPy 中的符号介于 0 和 1 之间？

Question

我正在使用 SymPy 在 Python 中对非常大的表达式进行符号操作。我正在操作的大多数符号代表小于或等于一的非负实数。

我如何告诉 SymPy 这些假设？我发现在创建符号时我可以执行以下操作。

import sympy as sym

x = sym.symbols('x', real=True, nonnegative=True)

但我不知道如何施加 1 的上限。

Answer 1

不幸的是，当前实施的假设系统没有提供施加这种限制的方法。出于某些目的，引入隐含界限的代数结构可能是合理的：例如，

t = sym.symbols('t', nonnegative=True)
x = t/(1+t)

现在 SymPy 知道 x 介于 0 和 1 之间：

>>> x < 1
True
>>> x >= 0
True

这是否有帮助取决于您正在使用的表达式的替换程度。另一种选择是

x = sym.exp(-t)

Answer 2

这是一个与已接受的答案在精神上相似的技巧，但保留了表达式中的原始符号。

考虑：

from sympy import symbols, sqrt, conjugate, Q

x = symbols('x', real=True, nonnegative=True)

expr = sqrt(1-x) * conjugate( sqrt(1-x) )

假设

0 <= x <= 1

，我们知道

expr

会简化为

1-x

，但我们不能直接在sympy中使用这个假设：

expr.simplify()
>>> sqrt(1 - x)*conjugate(sqrt(1 - x))

expr.refine(Q.positive(1-x))
>>> sqrt(1 - x)*conjugate(sqrt(1 - x))

我们希望传达给 sympy，

1-x

始终为正值或零。如果我们可以用声明为

1-x

的符号

y

替换

nonnegative=True

，那么

simplify()

可以识别

sqrt(1-x) = sqrt(y)

是实数并简化共轭和乘积。

我们可以做到这一点，而且我们甚至不需要使用新的符号！我们替换

x -> 1-x

，使子表达式

f(1-x)

变成

f(x)

，现在可以利用它们的参数为正来简化。然后，我们通过再次替换

1-x -> x

来恢复

x -> 1-x

。

expr = expr.subs(x, 1-x).simplify().subs(x, 1-x)
>>> 1 - x

这看起来很安全；我们的替换在数学上相当于断言

x <= 1

，再加上我们明确的 sympy 假设

x >= 0

，达到了预期的界限。

我们可以轻松扩展它以简化表达式，假设

0 <= x <= b

为正界

b

:

expr = expr.subs(x, b-x).simplify().subs(x, b-x)