找到一个标量，使矢量加法为正

Question

我有两个向量a =（a_1，a_2，...，a_n）和b =（b_1，b_2，...，b_n）。我想找到一个标量“s”，使得s = max {s：a + sb> = 0}。这里不等式是元素，即对于所有i = [1，...，n]，a_i + sb_i> = 0。如何计算这样一个标量？此外，如果s =无穷大是解，我们将s = s = 1。

矢量“a”也是非负的（即每个元素> = 0）。

Answer 1

好吧，使用a_i> = 0，我们可以看到s = 0始终是一个解决方案。一种可能的方法是解决所有组件的不等式，然后采用域的交集。它们的上限（如果有限，它是交集的一部分）则是你想要的数字。这意味着：

是你想要解决的问题。注意，因为在第二种情况下b_i是负的，所以右侧的数字是正的。这意味着你得到的所有s_i的交集都是非空的。最大值的下限为0，所以从技术上讲，你可以忽略b_i为正的不等式，无论如何它们都是正确的。但是，为了完整性和说明目的：

示例：a =（1,1），b =（ - 0,5,1）

1. 1 - s * 0.5> = 0，表示s <= 2，或s in（-inf，2]
2. 1 + s * 1> = 0，表示s> = -1，或者[-1，inf]中的s

交集：[-1,2]这意味着两个方程式保持的最大值为2。

这是最直接的方式，当然可能有更优雅的方式。

编辑：作为算法：检查b_i是正还是负。如果为正，则保存s_i = 1（如果您希望将值绑定为1）。如果为负数，请保存s_i = -a_i / b_i。最后你想要真正采取最低限度！

但效率更高：当b_i为正时，你实际上并不需要关心。无论如何，你的最大值将大于或等于零。因此，只需检查小于0的情况，并保持最小值-a_i / b_i，因为这是该区域的上限。

伪代码：

s = 1
for i in range = 1 to length(b):
    if b[i]<0:
        s = min(s, -a[i]/b[i]) 

为什么最低？因为-a [i] / b [i]是该区域的上限。