转换数据，使中位数周围的范围更加准确

Question

假设我有一些在 0 附近呈正态分布的浮点数。我需要将其序列化为 uint8，但我想将 uint8“给予更多”到分布的中心，并在边缘周围失去分辨率。

例如：

127

对应于

0.0

，

255

对应于

1.0

。但是

191

不会 是 0.5

 — 相反，它会类似于 

0.3

，因为我们正在拉伸它，以便大多数数字对应于接近 0 的值。

实际上，我实际上会生成一个随机的

uint32

 并将其转换为 

float

。但在测试线性映射时，极端值（-1.0 和 1.0 附近）出现得太频繁，我想将其集中在 

0.0

 周围。

我知道我可以使用

Box–Muller transform

，但这实际上不适合这里，因为：

1. 我们可以将上限设置为 -1.0 和 1.0，不需要无限制的输出。

2. 我们只有一个数字可供抽样，而不是两个。

谢谢

Answer 1

分位数函数

（也称为逆 CDF）将 [0, 1] 中的均匀随机数映射到遵循分布（例如正态分布）的数字。 但是，在

正态分布

的情况下，有一些事情需要了解（从现在起调用分位数函数 Q(u)）：

分位数函数的范围是从 0 到 1，而不是从 -1 到 1 或从 0 到 255。

• 正态分布可以呈现任何实数。事实上，对于这个分布，Q(0) 和 Q(1) 将等于无穷大。
• 正态分布的分位数涉及逆误差函数。分位数可能容易实现，也可能不容易实现，具体取决于您的编程环境是否已经具有可用的逆误差函数。
• 出于上述原因，只要允许所需范围内的值作为端点，您就必须缩放分位数函数以适合您所需的范围并避免无穷大，例如从 [0.001, 0.999] 到 [0, 255] 。下面是伪代码的示例。

 for k in 0..255
    c=0.001+(0.999-0.001)*(k*1.0/256)
    print([k, Q(c)]) // print the uint8 value followed by the quantile
 end

Answer 2

erf

和相应的逆。但如果你只想接近，你可以采用任何你喜欢的S形函数。 前向和后向映射的一些 Python 示例可能是：

def map_fwd( x, s ):
    return  x / np.sqrt( 1 + s**2 * ( 1 - x**2 ) )
 
def map_bwd( y, s ):
    x = np.sqrt( 1 + s**2 ) * y / np.sqrt( 1 + (s * y)**2 )
    return x

或

def map_fwd( x, s ):
    return  np.arctanh( np.tanh( s ) * x ) / s

def map_bwd( y, s ):
    x = np.tanh( s * y ) / np.tanh( s )
    return x

或者一些极端的喜欢

def map_fwd( x, m ):
    return  ellipkinc( np.pi * x / 2.0, m ) / ellipkinc( np.pi / 2.0, m )

def map_bwd( y, m ):
    u = ellipkinc( np.pi / 2.0, m ) * y
    phi =  ellipj( u, m )[-1]
    x = phi * 2 / np.pi
    return x

其中 

s

或

m

是描述线性映射偏差的参数。

我猜有无限的可能性，选择取决于精度与计算量。