对积分的嵌套调用失败

Question

尝试这段代码，效果很好。

a=1;b=2;
% A two-variate function 
f2= @(x,y) x+y;
derivedF2=@(x) integral(@(y) f2(x,y), a,b);
% Test the evaluation of the derived function handle
derivedF2(0);
% Test the integration of the derived function handle
% integralVal=integral(derivedF2,a,b);
% integralVal=integral(@(x) derivedF2(x),a,b);
% Test plotting of the derived function handle
figure(11);
ezplot(derivedF2);

但是如果您取消注释以积分Val开头的行。代码损坏了。

显然，派生函数句柄不支持积分操作，还是我错过了什么？

Answer 1

简短回答：您应该添加

'ArrayValued'

选项：

integralVal=integral(derivedF2,a,b, 'ArrayValued', true);

解释

您应该阅读错误消息：

函数的输出必须与输入的大小相同。如果 FUN 是数组值被积函数，则设置 'ArrayValued' 选项为 true。

因为

derivedF2

以矢量化方式计算，即通过提供

f

向量而不是单个标量，同时在不同的

y

坐标处计算

y

，MATLAB 无法以矢量化方式计算外积分也是这样。因此，您应该将

'ArrayValued'

选项添加到外积分，即：

integralVal=integral(derivedF2,a,b, 'ArrayValued', true);

请注意，

ezplot

还会生成以下相关警告：

警告：函数无法对数组输入求值；对函数进行向量化可以加快其计算速度并避免 需要循环数组元素。

请注意，问题纯粹与

integral

的嵌套调用有关，以下代码也会导致相同的错误：

integralVal=integral(@(x) integral(@(y) f2(x,y), a,b),a,b);

什么是数组值函数？

...接受标量输入并返回向量、矩阵或 N 维数组输出的函数。

因此，如果

@(y) f2(x, y)

是一个数组，则

x

是一个数组值函数，即它为

y

的标量输入返回一个数组。

存在两种可能性来避免数组值问题：

• 避免

  @(y) f2(x, y)

  是一个数组值函数，即避免

  x

  是一个数组。这可以通过指示

  derivedF2

  是如上所述的数组值函数来完成，尽管严格来说它不是数组值函数，即积分应该具有相同数量的输出和输入。但是，它在内部使用数组值函数，即

  @(x) f2(x, y)

  是一个数组值函数，因为 Matlab 默认情况下以向量化方式计算被积函数，即它使用

  y

  的向量。

• 告诉 Matlab

  @(y) f2(x, y)

  是一个数组值函数:

  derivedF2=@(x) integral(@(y) f2(x,y), a,b, 'ArrayValued', true);
  

  这可能是一种更直观的方法，但速度较慢，因为内部积分比外部积分调用得更频繁。

对 Array Valued 的另一种解释是告诉 matlab 不要使用向量化，但对于这种解释，名称 Array Valued 有点误导。