难以找到三次多项式的根

Question

摘要：我正在尝试使用牛顿方法找到三次多项式的特定根，但是它收敛于错误的值。

详细信息：我想在控制点为[[P 0 – P 3的三次贝塞尔曲线上找到特定_x的y值。控制三次贝塞尔曲线的参数方程为：

s 3 P ⁰

+ 3s _{2 tP ¹} + 3st _{2 P ²} + t _{3 P ³}…其中

s = 1-t。

将其扩展为

x

组件，对术语进行分组，并设置为等于所需值：

x =（-t 3 + 3t ²-3t +1）x ⁰

+（3t _{3-6t ² + 3t） x ¹} +（3t _{2-3t ³）x ²} + t _{3 x ³}

x = -t 3 x ⁰

+ 3t _{2 x ⁰}-3tx ₀ + x ₀ + 3t _{3 x ¹}-6t _{2 x ¹} + 3tx ₁ + 3t _{2 x ²}-3t _{3 x ²} + t _{3 x ³}

x =（-x 0

+ 3x ₁ -3x ₂ + x ₃）t _{3 + 3（x ^{0] >-2x 1 + x 2）t 2 + 3（-x 0 + x 1）t + x 0 = x}} 查找三次多项式的根

at 3

+ bt ² + ct + d = 0a = -x

0

+ 3x ₁ -3x ₂ + x ₃b = 3（x ₀-2x ₁ + x ₂）c = 3（-x ₀ + x ₁）d = x ₀-x时间开始实用编程。我已设置此代码：

function bezierXIntersect(x0, y0, x1, y1, x2, y2, x2, y3, x) {
   const a = -x0 + 3*x1 -3*x2 + x3,
         b = 3*(x0 - 2*x1 + x2),
         c = 3*(-x0 + x1),
         d = x0 - x
   const t = newtonCubicSolve(a, b, c, d),
         s = 1-t
   return s**3 * y0 + 3 * s**2 * t * y1 + 3 * s * t**2 * y2 + t**3 * y3
}

function newtonCubicSolve(a, b, c, d) {
   let cubic = t => a*t**3 + b*t**2 + c*t + d
   let deriv = t => 3*a*t**2 + 2*b*t + c
   return newton(0.5, cubic, deriv)
}

function newton(t, f, f1, n) {
   const t2 = t - f(t)/f1(t)
   return n>6 ? t2 : newton(t2, f, f1, (n||0)+1)
}

我将使用四个已知点的曲线对此进行测试：

const x0=352, y0=599,
      x1=381, y1=626,
      x2=489, y2=364,
      x3=536, y3=359

let y = bezierXIntersect(x0, y0, x1, y1, x2, y2, x3, y3, 400)

[ = 400处的那些点的正确值（由Wolfram-Alpha并在SVG中绘制该点确定）为
t = 0.32244和y = 553.281。但是，我上面的牛顿方法返回t
 = 0.2807，因此
y = 565.487。怎么了？如果我将牛顿和硬编码t = 0.32244跳过到函数中，则会返回正确的y值。如果我将日志语句放入迭代调用中，它并不是不稳定的，它可以平滑地收敛到0.2807。而且，除了解决上面我做错的事情之外，还有没有更好的方法来解决必须存在于t
 = [0,1]范围内的单个立方根？
哦，如果有帮助，可以保证
P 
1

和P ₂的x值介于P ₀和 P ₃，这保证了[[t在0–1之间只有一个解决方案。摘要：我正在尝试使用牛顿方法找到三次多项式的特定根，但是它收敛于错误的值。详细信息：我想在...上找到特定x的y值...

Answer 1