AVL树删除和重组

Question

我发现，当从 AVL 树中删除一个节点时，它可能需要多次重组，而插入只需要一次。谁能给我一个这样的删除案例的例子吗？ 另外，我已经实现了一个AVL树，我想检查delete()函数是否正常工作。那么你能给出一系列插入和删除序列来帮助我确定我的delete()是否正确并处理所有这些问题吗？

假设您有一个 AVL 树，每个节点都存储一个名称（字符串），并且您有函数 insertAVL(element) 和 deleteAVL(element)。

Answer 1

嗯，插入和删除都可以有多次轮换，因为你必须沿着树向上移动。

例如添加数据集{5,2,4,3,7,8,10,9}，然后删除{5}，添加{9}，最后删除{2}。你会得到以下内容。

addValue. id=5
└── (1) 5

addValue. id=2
└── (2) 5
    └── (1) 2

addValue. id=4
└── (3) 5 *unbalanced left 2 - right 0*
    └── (2) 2
        └── (1) 4
After left rotation:
└── (3) 5 *unbalanced left 2 - right 0*
    └── (2) 4
        └── (1) 2
After right rotation:
└── (2) 4
    ├── (1) 2
    └── (1) 5

addValue. id=3
└── (3) 4
    ├── (2) 2
    │   └── (1) 3
    └── (1) 5

addValue. id=7
└── (3) 4
    ├── (2) 2
    │   └── (1) 3
    └── (2) 5
        └── (1) 7

addValue. id=8
└── (3) 4
    ├── (2) 2
    │   └── (1) 3
    └── (3) 5 *unbalanced right 2 - left 0*
        └── (2) 7
            └── (1) 8
After left rotation:
└── (3) 4
    ├── (2) 2
    │   └── (1) 3
    └── (2) 7
        ├── (1) 5
        └── (1) 8

addValue. id=10
└── (4) 4
    ├── (2) 2
    │   └── (1) 3
    └── (3) 7
        ├── (1) 5
        └── (2) 8
            └── (1) 10

addValue. id=9
└── (4) 4
    ├── (2) 2
    │   └── (1) 3
    └── (3) 7
        ├── (1) 5
        └── (3) 8 *unbalanced left 0 - right 2*
            └── (2) 10
                └── (1) 9
After right rotation:
└── (5) 4
    ├── (2) 2
    │   └── (1) 3
    └── (4) 7
        ├── (1) 5
        └── (3) 8 *unbalanced right 2 - left 0*
            └── (2) 9
                └── (1) 10
After left rotation:
└── (4) 4
    ├── (2) 2
    │   └── (1) 3
    └── (3) 7
        ├── (1) 5
        └── (2) 9
            ├── (1) 8
            └── (1) 10

removeValue. value=5
└── (4) 4
    ├── (2) 2
    │   └── (1) 3
    └── (3) 7 *unbalanced right 2 - left 0*
        └── (2) 9
            ├── (1) 8
            └── (1) 10
After left rotation:
└── (4) 4
    ├── (2) 2
    │   └── (1) 3
    └── (3) 9
        ├── (2) 7
        │   └── (1) 8
        └── (1) 10

addValue. id=9
└── (5) 4
    ├── (2) 2
    │   └── (1) 3
    └── (4) 9
        ├── (3) 7 *unbalanced right 2 - left 0*
        │   └── (2) 8
        │       └── (1) 9
        └── (1) 10
After left:
└── (4) 4
    ├── (2) 2
    │   └── (1) 3
    └── (3) 9
        ├── (2) 8
        │   ├── (1) 7
        │   └── (1) 9
        └── (1) 10

removeValue. value=2
└── (4) 4 *unbalanced right 3 - left 1*
    ├── (1) 3
    └── (3) 9
        ├── (2) 8
        │   ├── (1) 7
        │   └── (1) 9
        └── (1) 10
After right rotation:
└── (4) 4 *unbalanced right 3 - left 1*
    ├── (1) 3
    └── (3) 8
        ├── (1) 7
        └── (2) 9
            ├── (1) 9
            └── (1) 10
After left rotation:
└── (3) 8
    ├── (2) 4
    │   ├── (1) 3
    │   └── (1) 7
    └── (2) 9
        ├── (1) 9
        └── (1) 10

我有一个 AVL 树这里，如果你想仔细看看。

Answer 2

插入时最多只需要一次重组，删除时可能需要多次重组，因为重组的效果是将该部分的高度减少 1。

如果您需要在插入中进行重组，则意味着您已插入到平衡因子为1或-1的子树下，使其变为2或-2。通过这次插入，该子树的高度增加了 1，重组基本上使树恢复到原来的高度。因此，该子树的父母仍然具有相同的高度。

另一方面，如果您删除并且需要重组，您基本上删除了子树较短子节点的左节点，导致平衡因子为 2 或 -2。在这种情况下，删除后不会影响该子树的原始高度。然而，重组树会产生

newheight = oldheight - 1

，这可能会影响其父母的高度和平衡。因此，您需要检查重组子树的每个父树，以确保每个子树都是平衡的。