如何将平面上的 2D 点转换为 3D 点？

Question

我在平面上有一些 3D 点。该平面由法线和常数定义。我需要处理 2D 中的点，然后将它们转换回 3D。为了将点转换为 2D，我创建了一个四元数来将平面旋转到 xy 平面，我可以用它来变换点（只需丢弃 z 坐标）。修改 2D 中的点后，我想将它们转换回 3D。我注意到，同一个四元数，如果反转，会将点旋转回来，但我也需要以某种方式平移它，涉及平面常数，但我不知道该怎么做。谢谢！

Answer 1

我假设你的平面以 Hessian 范式给出，即点

x

位于平面上 iff:

dot(n, x) - c = 0

单位正常

n

。

当您应用旋转将平行于 xy 平面的平面与这些点对齐时，它们的 z 分量将等于

c

。因此，要从 2D 转换回 3D，您只需添加

c

的 z 分量并应用反向旋转。确保上述定义适用于您的情况。有时，使用

dot(n, x) + c = 0

形式，这会产生

-c

的 z 分量。

请注意，此过程在功能上是合适的，但计算量很大。另一种方法是在平面上定义 3D 基础，并使用该基础在 3D 和 2D 之间进行转换。您可以在此答案中找到示例。