非冗余对列表中的对象索引

Question

我正在实现一个碰撞检测算法，存储单个八叉树节点中所有对象之间的距离。例如，如果节点中有4个对象，则对象1和2,1和3,1和4,2和3,2和4以及3和4之间存在距离。总对数的公式是t = n *（n-1）/ 2，其中t是对的总数，n是节点中对象的数量。

我的问题是，如何从列表中的位置转换为一对对象。例如，使用上面的对列表，3将返回对2和3。

为了节省内存空间，列表只是距离的浮点列表，而不是包含距离和指向2个对象的指针。

我不确定如何在数学上将单个列表索引转换为一对数字。任何帮助都会很棒。我希望能够将其分解为2个函数，第一个返回第一个对象，第二个返回第二个，两个函数都采用2个变量，一个是索引，另一个是整个对象。节点。如果可能的话，我想创建一个没有任何循环或具有递归函数的函数，因为这将为我的碰撞检测算法实时运行。

Answer 1

根据我对这个问题的理解，从索引（从0开始，在你的例子中为3）和对象数n（在你的例子中为4）中获得一对a＆b（在你的例子中为1，2和3）的一种方法是：

t = n * (n - 1) / 2;
a = n - floor((1 + sqrt(1 + 8 * (t - index - 1))) / 2);
b = index + (n - a) * (n - a + 1) / 2 - t + a + 1;

http://oeis.org/A002024的一些学分

可以在Calculate Combination based on position和http://saliu.com/bbs/messages/348.html找到广义算法（对于元组而不是对），但它们似乎涉及在循环中计算组合。

编辑：一个更好的公式（来自同一来源）：

a = n - floor(0.5 + sqrt(2 * (t - index)));

Answer 2

Better ordering

我建议使用colexicographical order，因为在这种情况下你不必提供对象的总数。像这样订购你的对：

 0:   1:   2:   3:   4:   5:   6:   7:   8:   9:  10:  11:  12:  13:  …
0&1, 0&2, 1&2, 0&3, 1&3, 2&3, 0&4, 1&4, 2&4, 3&4, 0&5, 1&5, 2&5, 3&5, …

您可以将此列表扩展为无限长度，这样您就可以在不知道项目数的情况下知道任何一对的索引。这样做的好处是，当您向数据结构中添加新项时，您只需要附加到数组，而不是重新定位现有条目。我已经将索引调整为零，因为你标记了你的问题C ++所以我假设你将使用从零开始的索引。以下所有答案都假定这个顺序。

您还可以像这样可视化colex排序：

 a: 0  1  2  3  4  5 …
b:
1   0
2   1  2     index of
3   3  4  5       a&b
4   6  7  8  9
5  10 11 12 13 14
6  15 16 17 18 19 20
⋮   ⋮                 ⋱

Pair to single index

让我们先把一对变成一个索引。诀窍在于，对于每一对，你看第二个位置并想象所有在该位置具有较少数量的对。因此，例如对于2&4对，您首先计算第二个数小于4的所有对。这是从一组4中选择两个项目的可能方式的数量（即数字0到3），所以你可以将其表示为二项式系数4C2。如果你评价它，你最终得到4（4-1）/ 2 = 6。为此添加第一个数字，因为这是具有较低索引但在第二个位置具有相同数字的对的数量。对于2&4，这是2，所以2&4的整体指数是4（4-1）/ 2 + 2 = 8。

通常，对于a＆b对，索引将是b（b-1）/ 2 + a。

int index_from_pair(int a, int b) {
  return b*(b - 1)/2 + a;
}

Single index to pair

将单个索引i转换回一对数字的一种方法是增加b直到b（b + 1）/ 2> i，即b的下一个值将导致索引大于i的情况。然后你可以找到a作为差异a = i-b（b-1）/ 2。这种方法通过一次递增一个b涉及使用循环。

pair<int, int> pair_from_index(int i) {
  int a, b;
  for (b = 0; b*(b + 1)/2 <= i; ++b)
    /* empty loop body */;
  a = i - b*(b - 1)/2;
  return make_pair(a, b);
}

您还可以将b（b-1）/ 2 = i解释为二次方程式，您可以使用平方根求解。你需要的实际b是你得到的浮点b的底值，作为这个二次方程的正解。由于此方法中由于舍入错误可能会遇到问题，您可能需要检查b（b + 1）/ 2> i。如果不是这种情况，请像在循环方法中那样增加b。一旦你有b，a的计算保持不变。

pair<int, int> pair_from_index(int i) {
  int b = (int)floor((sqrt(8*i + 1) + 1)*0.5);
  if (b*(b + 1)/2 <= i) ++b; // handle possible rounding error
  int a = i - b*(b - 1)/2;
  return make_pair(a, b);
}

Sequential access

请注意，您只需将索引转回对即可随机访问列表。迭代所有对时，一组嵌套循环更容易。而不是

for (int = 0; i < n*(n - 1)/2; ++i) {
  pair<int, int> ab = pair_from_index(i);
  int a = ab.first, b = ab.second;
  // do stuff
}

你最好写

for (int i = 0, b = 1; b != n; ++b) {
  for (int a = 0; a != b; ++a) {
    // do stuff
    ++i;
  }
}