龙格·库塔方法圆周运动

Question

我被要求解决这个微分方程：

（（x，y，vx，vy）'=（vx，vy，vy，-vx）

应该返回一个2*pi周期的圆周运动。我实现了该功能：

class FunzioneBase 
{
  public:
    virtual VettoreLineare Eval(double t, const VettoreLineare& v) const = 0; 
};

class Circonferenza: public FunzioneBase
{
  private:
    double _alpha;

  public:
    Circonferenza(double alpha) { _alpha = alpha; };
    void SetAlpha(double alpha) { _alpha = alpha; };
    virtual VettoreLineare Eval(double t, const VettoreLineare& v) const;
};

VettoreLineare Circonferenza::Eval(double t, const VettoreLineare& v) const
{
  VettoreLineare y(4);
  if (v.GetN() != 4) 
  {
    std::cout << "errore" << std::endl;
    return 0;
  };

  y.SetComponent(0, v.GetComponent(2));
  y.SetComponent(1, v.GetComponent(3));
  y.SetComponent(2, pow(pow(v.GetComponent(0), 2.) + pow(v.GetComponent(1), 2.), _alpha) * v.GetComponent(3));
  y.SetComponent(3, - pow(pow(v.GetComponent(0), 2.)  + pow(v.GetComponent(1), 2.), _alpha)) * v.GetComponent(2));

  return y;
};

其中_alpha等于0。现在，使用Euler的方法就可以很好地工作：如果我将2 * pi * 10的ODE积分，给定初始条件(1, 0, 0, -1)，且精度为0.003，则可以得到在[...] (1, 0)，正如我们所期望的。但是，如果我将同一ODE与Runge Kutta的方法集成在一起（精度为1 ± 0.1，持续0.003秒），则实现如下：

2 * pi * 10

如果理论上对于四阶Runge Kutta方法，精度应在

class EqDifferenzialeBase 
{
  public:
    virtual VettoreLineare Passo (double t, VettoreLineare& x, double h, FunzioneBase* f) const = 0;
};

class Runge_Kutta: public EqDifferenzialeBase 
{
  public:
    virtual VettoreLineare Passo(double t, VettoreLineare& v, double h,  FunzioneBase* f) const;
};

VettoreLineare Runge_Kutta::Passo(double t, VettoreLineare& v, double h, FunzioneBase* _f) const
{ 
  VettoreLineare k1 = _f->Eval(t, v);
  VettoreLineare k2 = _f->Eval(t + h / 2., v + k1 *(h / 2.));
  VettoreLineare k3 = _f->Eval(t + h / 2., v + k2 * (h / 2.));
  VettoreLineare k4 = _f->Eval(t + h, v + k3 * h);
  VettoreLineare y = v + (k1 + k2 * 2. + k3 * 2. + k4) * (h / 6.);

  return y;
}

左右，则理论上返回x位置，该位置近似等于0.39。我检查发现，使用Runge_Kutta的周期似乎几乎翻了四倍（因为1E-6失效，2 * pi从x变为1），但是我不明白为什么。这是我主要内容：

0.48

谢谢你。

Answer 1

更新：识别出一个错误：始终使用

VettoreLineare DatiIniziali (4);
Circonferenza* myCirc = new Circonferenza(0);

DatiIniziali.SetComponent(0, 1.);
DatiIniziali.SetComponent(1, 0.);
DatiIniziali.SetComponent(2, 0.);
DatiIniziali.SetComponent(3, -1.);
double passo = 0.003;
Runge_Kutta myKutta;

for(int i = 0; i <= 2. * M_PI / passo; i++)
{
  DatiIniziali = myKutta.Passo(0, DatiIniziali, passo, myCirc);
  cout << DatiIniziali.GetComponent(0) << endl;
};

cout << 1 - DatiIniziali.GetComponent(0) << endl;

选项进行编译，以捕获编译器的所有警告和自动代码更正。那么您会发现

-Wall

您在

fff: In member function ‘virtual VettoreLineare Circonferenza::Eval(double, const VettoreLineare&) const’:
fff:xxx:114: error: invalid operands of types ‘void’ and ‘double’ to binary ‘operator*’
     y.SetComponent(3, - pow(pow(v.GetComponent(0), 2.)  + pow(v.GetComponent(1), 2.), _alpha)) * v.GetComponent(2));
                                                                                                                  ^

之后过早关闭的位置，因此_alpha的void成为一个因素。

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Update II：识别出第二个错误：在SetComponent中给出了线性向量类的代码。与addition（another post of yours）相反，scalar-vector product（operator+）正在修改调用实例。因此，在计算operator*(double)时，k2的成分将与k1相乘。但是，然后将此修改后的h/2（以及修改后的k1和k2）用于组装结果k3，从而导致几乎完全无用的状态更新。

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原始快速原型：我可以告诉你，在python中精简的基本实现是完美的]]

y
以]结尾>
import numpy as np

def odeint(f,t0,y0,tf,h):
    '''Classical RK4 with fixed step size, modify h to fit
        the full interval'''
    N = np.ceil( (tf-t0)/h )
    h = (tf-t0)/N

    t = t0
    y = np.array(y0)
    for k in range(int(N)):
        k1 = h*np.array(f(t      ,y       ))
        k2 = h*np.array(f(t+0.5*h,y+0.5*k1))
        k3 = h*np.array(f(t+0.5*h,y+0.5*k2))
        k4 = h*np.array(f(t+    h,y+    k3))
        y = y + (k1+2*(k2+k3)+k4)/6
        t = t + h
    return t, y

def odefunc(t,y):
    x,y,vx,vy = y
    return [ vx,vx,vy,-vx ]

pi = 4*np.arctan(1);

print odeint(odefunc, 0, [1,0,0,-1], 2*pi, 0.003)
如预期。您将需要调试器或中间输出来查找计算错误的地方。