嵌套数值积分

Question

链接中的问题： 可以进行解析积分，答案是 4，但是我对使用 Matlab 对它进行数值积分很感兴趣，因为它在形式上类似于我无法进行解析积分的问题。数值积分的困难是因为两个内积分中的函数是

x

、

y

的函数，且无法分解出

z

和

z

。

Answer 1

这绝不是优雅的。希望有人能比我更好地利用matlab函数。我尝试过暴力方式来练习数值积分。我试图通过利用 z=0 处的内部积分也乘以 z 的事实来避免出现极点。我得到 3.9993。必须有人通过使用比梯形规则更好的东西来获得更好的解决方案

function []=sofn
clear all

global x y z xx yy zz dx dy

dx=0.05;
x=0:dx:1;
dy=0.002;
dz=0.002;
y=0:dy:1;
z=0:dz:2;

xx=length(x);
yy=length(y);
zz=length(z);

s1=0;
for i=1:zz-1
    s1=s1+0.5*dz*(z(i+1)*exp(inte1(z(i+1)))+z(i)*exp(inte1(z(i))));
end
s1

end

function s2=inte1(localz)
global y yy dy

if localz==0
    s2=0;
else
s2=0;
for j=1:yy-1
    s2=s2+0.5*dy*(inte2(y(j),localz)+inte2(y(j+1),localz));
end
end

end

function s3=inte2(localy,localz)
global x xx dx

s3=0;
for k=1:xx-1
    s3=s3+0.5*dx*(2/(localy+localz));
end

end

Answer 2

嗯，这很奇怪，因为在发帖者之前类似的问题上，我声称这是不可能完成的，现在在看了 Guddu 的答案后，我意识到它并不那么复杂。我之前写过，数值积分会产生一个数字，而不是一个函数，这是正确的——但不是重点：我们可以定义一个函数来计算每个给定参数的积分，这样就可以有效地确实有数值积分结果的函数。

无论如何，就这样吧：

function q = outer

    f = @(z) (z .* exp(inner(z)));
    q = quad(f, eps, 2);

end

function qs = inner(zs)
% compute \int_0^1 1 / (y + z) dy for given z

    qs = nan(size(zs));
    for i = 1 : numel(zs)
        z = zs(i);
        f = @(y) (1 ./ (y + z));
        qs(i) = quad(f, 0 , 1);
    end

end

我应用了我自己在评论中建议的简化，消除了 x。函数

inner

计算 y 上的内积分值作为 z 的函数。然后函数outer 计算z 上的外积分。我通过让积分从

eps

而不是 0 运行来避免 z = 0 处的极点。结果是

4.00000013663955

inner

必须使用

for

循环来实现，因为赋予

quad

的函数需要能够同时返回多个参数值的值。