ARM frsqrts 是否需要与额外的 fmul 指令一起使用以进行牛顿迭代？

Question

在 ARM 指令frsqrts的文档中，它说：

该指令将两个源 SIMD 和 FP 寄存器的向量中相应的浮点值相乘，用 3.0 减去每个乘积，将这些结果除以 2.0，将结果放入向量中，并将向量写入目标 SIMD和 FP 寄存器。

我将其解释为 yₙ₊₁ = (3 - xyₙ)/2 - 事实上，以下代码证明了这种解释：

.global _main
.align 2
_main:
    fmov d0, #2.0 // Goal: Compute 1/sqrt(2)
    fmov d1, #0.5 // initial guess
    frsqrts d2, d0, d1 // first approx

    mov x0, 0
    mov x16, #1 // '1' = terminate syscall
    svc #0x80   // "supervisor call"

但是，阅读关于反平方根的牛顿迭代，我发现迭代不是 yₙ₊₁ = (3 - xyₙ)/2，而是 yₙ₊₁ = yₙ(3 - xyₙ²)/ 2.现在，显然我可以将 frsqrt

 与其他指令结合使用来得到这个：

    fmov d0, #2.0 // Goal: Compute 1/sqrt(2)
    fmov d1, #0.5 // initial guess
    fmul d2, d1, d1 // initial guess squared
    frsqrts d3, d0, d2 // (3-r*r*x)/2
    fmul d4, d1, d3 // d4 = r*(3-r*r*x)/2

但是引入自定义指令似乎很奇怪，它只能让您实现目标的一半。我是否滥用了这条指令？

Answer 1

这代表了将倒数平方根的牛顿-拉夫森迭代完全传统地划分为简单的类似 RISC 的指令。

例如，在AMD的3dNow！ x86 的指令集扩展，这就是指令

PFRSQIT1

 的功能（全面披露：这是我设计的）。此功能甚至不需要底层的 FMA 功能：它可以通过对现有乘法器进行轻微修改来实现，因为当按预期使用时，即作为倒数平方的 NR 迭代的一部分，结果接近 1.0根。

正如询问者推断的那样，

frsqrts

需要接收倒数平方根的当前估计的

square作为其源操作数之一。由于 frsqrte

 指令提供了 1/sqrt(x) 的估计，精确到大约 8 位，因此计算单精度倒数平方根将需要两次 Newton-Raphson 迭代。从概念上讲：

     frsqrte  est0, x             // initial approximation, accurate to about 8 bits

     fmul     est0_sq, est0, est0 // first NR iteration for reciprocal square root
     frsqrts  tmp, est0_sq, x
     fmul     est1, tmp, est0     

     fmul     est1_sq, est1, est1 // second NR iteration for reciprocal square root
     frsqrts  tmp, est1_sq, x
     fmul     res, tmp, est1

此指令序列直接映射到相应内联函数的序列：

vrsqrte_f32()

、

vmul_f32()

和

vrsqrts_f32()

。