我可以在Sagemath创建“抽象”张量吗？

Question

例如，我想在没有指定系数的情况下采用单形式的外部导数。例如，如果我有一个表格

a = fdz + gdx + hdy

我怎么能用f_x，f_y等来计算da而不告诉Sage究竟是什么f，g和h？

我曾尝试查看Sage网站的差异表格和张量部分，但我没有找到任何内容。

Answer 1

显然这有点可能，但可能有限（当前效用）。

sage: U = Manifold(3, 'U')
sage: X.<x,y,z> = U.chart()
sage: f = U.diff_form(2, 'f')
sage: f
2-form f on the 3-dimensional differentiable manifold U
sage: f.exterior_derivative()
3-form df on the 3-dimensional differentiable manifold U

所以至少有抽象的。但

sage: f.components()
...
ValueError: no basis could be found for computing the components in the Coordinate frame (U, (d/dx,d/dy,d/dz))

但是，我认为可以通过定义三个变量的抽象函数来解决这个问题。不能保证这是否100％准确，因为“图表”变量与其他符号变量之间的关系对我来说并不清楚 - 我没有使用过SageManifolds。

sage: pbi = function('pbi', nargs=3)(x,y,z); pbi
pbi(x, y, z)
sage: type(pbi)
<type 'sage.symbolic.expression.Expression'>
sage: f[0,1]=pbi
sage: f
2-form f on the 3-dimensional differentiable manifold U
sage: f.components()
Fully antisymmetric 2-indices components w.r.t. Coordinate frame (U, (d/dx,d/dy,d/dz))
sage: f.display()
f = pbi(x, y, z) dx/\dy
sage: f.exterior_derivative()
3-form df on the 3-dimensional differentiable manifold U
sage: f.exterior_derivative().components()
Fully antisymmetric 3-indices components w.r.t. Coordinate frame (U, (d/dx,d/dy,d/dz))
sage: f.exterior_derivative().display()
df = d(pbi)/dz dx/\dy/\dz
sage: f[1,2]=pbi^2
sage: f.exterior_derivative().display()
df = (2*pbi(x, y, z)*d(pbi)/dx + d(pbi)/dz) dx/\dy/\dz

如果这些计算是你所期望的，那么我想你可以使用它们。快速表面一瞥说至少+/-似乎是正确的。

sage: g = U.diff_form(1, 'g')
sage: g[:] = (pbi,pbi^2,pbi^3)
sage: g.display()
g = pbi(x, y, z) dx + pbi(x, y, z)^2 dy + pbi(x, y, z)^3 dz
sage: g.exterior_derivative().display()
dg = (2*pbi(x, y, z)*d(pbi)/dx - d(pbi)/dy) dx/\dy + (3*pbi(x, y, z)^2*d(pbi)/dx - d(pbi)/dz) dx/\dz + (3*pbi(x, y, z)^2*d(pbi)/dy - 2*pbi(x, y, z)*d(pbi)/dz) dy/\dz

除了您已经提到的文档之外，请参阅here（但只有歧管版本，另一个已弃用）以获得更多示例。