使用高斯-勒让德求积对二重积分进行数值积分

Question

我已经有一个代码，用于生成用于积分的高斯-勒让德求积规则的权重和横坐标，但我在将其用于二重积分时遇到困难。

为了生成权重和横坐标，我使用以下符号 [w,x]=leg(x1,x2,n)，其中 w 是权重，x 是横坐标，x1 是积分的下限，x2 是上限limit，n 是正交点数。

我只举一个简单的例子，这样它可以帮助我理解这个想法。假设我有以下积分 $\int_0^1 \int_0^1 x^2 y^2 dx dy$ 我该如何实施？

提前致谢。

Answer 1

二重积分是矩形域上的积分。它们可以用专用的矩形方案来处理，或者（您尝试做的）用一维求积的乘积方案来处理。您甚至可以在这里混合和匹配两种不同的方案。

乘积方案的点是笛卡尔积中的一维点，即，对于方案 1 中的每个

x_i

和方案 2 中的

y_j

，

(x_i, y_j)

是乘积方案中的一个点。权重是两个相应权重的乘积。

如果你想让它变得简单，你可以使用quadpy（我的一个项目）：

import numpy
import quadpy

quadpy.quadrilateral.integrate(
    lambda x: numpy.exp(x[0]),
    [[0.0, 0.0], [0.0, 0.0], [0.0, 0.0], [0.0, 0.0]],
    quadpy.quadrilateral.Product(quadpy.line_segment.GaussLegendre(4))
    )