纳尔代数的SVD分解难以理解

Question

我正在尝试计算矩阵的 SVD，作为一个玩具示例，我使用了向量。

我运行了我的代码： https://play.rust-lang.org/?version=stable&mode=debug&edition=2021&gist=00110137fbcbda27c95e9d8791bb97cf

use nalgebra::*;

fn main() {
    let x = dmatrix![
        1., 0., 0.
    ];

    println!("{}", x);

    let svd = x.transpose().svd(true, true);

    // dbg!(&svd);

    let rank = svd.rank(1e-9);

    dbg!(rank);

    let x = svd.v_t.as_ref().unwrap().transpose();
    println!("v\n{}", svd.v_t.as_ref().unwrap().transpose());
    println!("u\n{}", svd.u.as_ref().unwrap().transpose());
    let null: OMatrix<_, _, _> = x.columns(rank, 3 - rank).clone_owned();

    println!("{}", null);
}

我在崩溃之前得到了这个输出：

  ┌       ┐
  │ 1 0 0 │
  └       ┘


v

  ┌   ┐
  │ 1 │
  └   ┘


u

  ┌       ┐
  │ 1 0 0 │
  └       ┘

这是废话。根据定义，u 应该是一个 3x3 矩阵，在这种情况下它应该是单位矩阵，缺失的向量在哪里？？？

Answer 1

免责声明：我不是数学专家。因此，请对这个答案中的所有内容持保留态度，它仅代表我自己对这个主题的理解。

MxN SVD 分解没有唯一定义。您的

1,0,0

示例有点过于简单，无法理解正在发生的情况，因此我将使用以下矩阵：

根据网上资源，SVD分解应该是：

请注意，红色数字绝对没有任何意义，因为它们会与

0

相乘。所以都可以用

0

代替。此外，它们甚至对最终矩阵没有影响，所以我们可以简单地完全删除它们。

这正是 nalgebra 所做的，它的 SVD 结果是：

use nalgebra::*;

fn main() {
    let x = dmatrix![
        1.,2.,3.;
        4.,5.,6.
    ];

    let svd = x.svd(true, true);

    let u = svd.u.unwrap();
    let e = svd.singular_values;
    let v_t = svd.v_t.unwrap();

    println!("U: {}", u);
    println!("Σ: {}", e);
    println!("V_t: {}", v_t);
}

U: 
  ┌                                           ┐
  │  0.38631770311861147   0.9223657800770584 │
  │   0.9223657800770584 -0.38631770311861147 │
  └                                           ┘

Σ: 
  ┌                    ┐
  │  9.508032000695726 │
  │ 0.7728696356734843 │
  └                    ┘

V_t: 
  ┌                                                             ┐
  │ 0.42866713354862646  0.5663069188480351  0.7039467041474435 │
  │ -0.8059639085892969 -0.1123824140965934  0.5811990803961106 │
  └                                                             ┘

从性能角度来看这样做是有意义的；结果中的值并不意味着任何内容都可以优化。

当然，他们的方法的缺点是，

U

和

V

矩阵不再是有效的旋转矩阵。它们是否必须可能取决于问题。