在python中生成随机对称张量

Question

我想生成一个关于轴的所有排列对称的随机（高斯）张量。最后，我希望所有条目具有相同的分布，因此对所有排列求和并通过 sqrt(k!) 重新缩放（其中 k 是我的张量的阶数）之类的技巧不起作用。例如：

import numpy as np
from itertools import permutations

noise_buffer = np.random.normal(size=n*n*n).reshape(n,n,n)/np.sqrt(6);
noise = np.zeros([n,n,n]);
for i in permutations([0,1,2]):
    noise += np.transpose(noise_buffer,axes=list(i))

我可以遍历所有坐标（-1）并适当地重新缩放，但这很耗时。

您知道有哪个图书馆实现了这一点吗？或者你知道有什么快速实施方法吗？

Answer 1

您可以使用相当简单的元素明智方法，在时间上与张量大小呈线性关系（

d^n

，避免生成所有排列的阶乘开销），这也可以直接让您选择条目分布：

import itertools
import collections
import numpy as np

def random_symmetric(d, ndim, seed=None):
    rng = np.random.default_rng(seed)
    # choose your desired distribution here
    value_store = collections.defaultdict(rng.normal)
    x = np.empty((d,) * ndim, dtype=np.float64)
    for coo in itertools.product(range(d), repeat=ndim):
        key = [0] * d
        for i in coo:
            key[i] += 1
        key = tuple(key)
        x[coo] = value_store[key]
    return x

解释一下，您只需访问每个元素及其坐标，将坐标“散列”到其各自的排列组中，然后生成或检索该排列组的随机值。例如，坐标

(0, 1, 0, 1, 2, 0, 1)

将具有键

(3, 3, 1)

，因为它有 3 个零、3 个一和 1 个二。生成的独特元素总数将为

comb(ndim + d - 1, d - 1)

。

x = random_symmetric(3, 12)

>1/2 百万个条目大约需要 0.3 秒。 cython/numba 版本应该非常容易适应并且可能更快。

Answer 2

其实，你提出的方法是有效的；它只需要一个小小的修改。

利用正态随机变量之和是另一个正态随机变量的方差之和的事实，例如看这里

问题似乎是您希望噪声条目来自某个分布，但如果您从该分布中获取noise_buffer，那么噪声将具有不同的分布。

解决方案是对noise_buffer使用不同的分布（具体来说，正态分布，标准差减少1/sqrt(k!)），那么噪声将具有正确的分布。