如何使用solve_ivp用谱法求解偏微分方程？

Question

我想用谱法求解偏微分方程。像这样的方程，，初始条件是u(t=0,x)=(a^2)*sech(x),u'_t (t=0)=0。

为了解决这个问题，我使用Python和光谱方法。以下是代码，

import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp
from scipy.fftpack import diff as psdiff

#RHS of equations
def f(t,u):
    uxx= psdiff(u[N:],period=L,order=2)
    du1dt=u[:N]
    du2dt =a**2*uxx
    dudt=np.append(du1dt,du2dt)
    return dudt

a=1
amin=-40;bmax=40
L=bmax-amin;N=256
deltax=L/N
x=np.arange(amin,bmax,deltax)

u01 = 2*np.cosh(x)**(-1)
u02=np.zeros(N)
# y0
inital=np.append(u01,u02)

sola1 = solve_ivp(f, t_span=[0,40],y0=inital,args=(a,))

import matplotlib.pyplot as plt
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(x,sola1.y[:N,5])
plt.show()

以下是我的预期结果，

.

我的python代码可以运行，但是我无法得到预期的结果，也找不到问题所在。以下是我的python代码的结果，

-----------------------------------------------------更新-------------------- ---------------------------- 我也尝试了新的代码，但仍然无法解决

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
from scipy.fftpack import diff as psdiff
from itertools import chain 
def lambdifide_odes(y,t,a):
    # uxx =- (1j)**2*k**2*u[:N]
    u1=y[::2]
    u2=y[1::2]
    dudt=np.empty_like(y)
    du1dt=dudt[::2]
    du2dt=dudt[1::2]

    du1dt=u2
    uxx=psdiff(u1,order=2,period=L)
    du2dt=a**2*uxx
    return dudt
a=1
amin=-40;bmax=40
L=bmax-amin;N=256
deltax=L/N
x=np.arange(amin,bmax,deltax)
u01 = 2*np.cosh(x)**(-1)
u02=np.zeros(N)
initial=np.array(list(chain.from_iterable(zip(u01,u02))))
t0=np.linspace(0,40,100)
sola1 = odeint(lambdifide_odes,y0=initial,t=t0,args=(a,))
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(x,sola1[20,::2])
plt.show()

Answer 1

您的状态向量设计以及在 ODE 函数中使用它时遇到一些小问题。总体意图是

u[:N]

是波函数，

u[N:]

是它的时间导数。现在你想要波函数的二阶空间导数，因此你需要使用

uxx= psdiff(u[:N],period=L,order=2)

此时您使用时间导数，使其成为方程中未出现的混合三阶导数。

Answer 2

您通过

uxx

而不是

u[N:]

计算出

u[N:]

。

du1dt

应等于

u[:N]

而不是

u[N:]

。我还改变了计算

u

的二阶导数的公式。我匹配了你提供的结果。以下是代码：

import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp
import matplotlib.pyplot as plt

#RHS of equations
def f(t, u, a, deltax):
    N = len(u) // 2
    uxx = np.gradient(np.gradient(u[:N]) / deltax) / deltax
    du1dt=u[N:]
    du2dt =a**2 * uxx
    dudt=np.append(du1dt, du2dt)
    return dudt

a=1
amin=-40; bmax=40
N=1001
deltax = (bmax - amin) / (N - 1)
x = np.linspace(amin, bmax, N)
t_eval = [0, 5, 10, 20]

u01 = 2*np.cosh(x)**(-1)
u02 = np.zeros(N)
# y0
inital=np.append(u01, u02)

sola1 = solve_ivp(f, t_span=[0, 40], t_eval=t_eval, y0=inital, args=(a, deltax))

ts = [0, 5, 10, 20]

for i, t in enumerate(ts):
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 2))
    ax.plot(x,sola1.y[:N, i])
    plt.title(f't={t}')
    plt.ylim([0, 2])