谁能详细解释linalg.lstsq的返回？

Question

尽管提供了linalg.lstsq document。我仍然很难理解，因为它不够详细。

x：{（N，），（N，K）} ndarray

最小二乘解。如果b是二维的，则解在x的K列。

残差：{（1，），（K，），（0，）} ndarray

残差之和； b中每个列的平方欧几里德2范数-斧头。如果a的秩为

rank：int

矩阵a的等级。

s：（min（M，N），）ndarray

a的奇异值

我试图观察输出。但是我只知道排名是2。对于其余的，我不知道为什么。

x = np.array([0, 1, 2, 3])
y = np.array([-1, 0.2, 0.9, 2.1])
A = np.vstack([x, np.ones(len(x))]).T
print(A)
print('-------------------------')
print(np.linalg.lstsq(A, y, rcond=None))

礼物

[[0. 1.]
 [1. 1.]
 [2. 1.]
 [3. 1.]]
-------------------------
(array([ 1.  , -0.95]), array([0.05]), 2, array([4.10003045, 1.09075677]))

我不理解元组“（（N，），（N，K），（1，），（K，），（0，），（M，N）”表示什么。

例如，np.linalg.lstsq(A, y, rcond=None)[0]将是array([ 1. , -0.95])它与{（N，），（N，K）}有什么关系？

Answer 1

那些元组是输入和输出的可能形状。在您的示例中，A.shape = (4, 2)和y.shape = (4,)。查看文档M = 4，N = 2，我们正在处理没有K的情况。因此，输出的形状应为x.shape = (N,) = (2,)，residuals.shape = (1,)，s.shape = (min(M, N),) = (2,)。

让我们一次查看一个输出

>>> x, residuals, rank, s = np.linalg.lstsq(A, y, rcond=None)

[x是A @ x = y的最小二乘解，因此它使np.linalg.norm(A @ x - y)**2最小化：

>>> A.T @ (A @ x - y)
array([1.72084569e-15, 2.16493490e-15])

其他输出在那里告诉您此解决方案有多好，以及它对数值误差的敏感程度。

[residuals是A @ x和y之间的不匹配的平方范数：

>>> np.linalg.norm(A @ x - y)**2
0.04999999999999995
>>> residuals[0]
0.04999999999999971

[rank是A的等级：

np.linalg.matrix_rank(A)
2
>>> rank
2

[s包含A的奇异值

>>> np.linalg.svd(A, compute_uv=False)
array([4.10003045, 1.09075677])
>>> s
array([4.10003045, 1.09075677])

您是否熟悉数学概念？