用 Numerov 方法求解一维薛定谔方程 (python)

Question

我目前正在尝试求解一维薛定谔方程。 （与时间无关）使用 Numerov 方法。该方法的推导对我来说很清楚，但我在实现时遇到了一些问题。我尝试在谷歌上寻找解决方案，有一些（像这个或这个），但我不太明白他们在代码中做了什么......

问题：

通过一些数学计算，您可以得到以下形式的方程： 哪里。首先，我想看看潜力

V(x)=1 if -a<x<a

。

由于我没有能量值或 Psi 的第一个值（启动算法所需的），我只是猜测一些......

代码如下所示：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.constants import hbar

m= 1e-27
E= 0.5

def numerov_step(psi_1,psi_2,k1,k2,k3,h):
    #k1=k_(n-1), k2=k_n, k3=k_(n+1)
    #psi_1 = psi_(n-1) and psi_2=psi_n
    m = 2*(1-5/12. * h**2 * k2**2)*psi_2
    n = (1+1/12.*h**2*k1**2)*psi_1
    o = 1 + 1/12. *h**2 *k3**2
    return (m-n)/o

def numerov(N,x0,xE,a):
    x,dx = np.linspace(x0,xE,N+1,retstep=True)

    def V(x,a):
        if (np.abs(x)<a):
            return 1
        else:
            return 0
    
    k = np.zeros(N+1)
    for i in range(len(k)):
        k[i] = 2*m*(E-V(x[i],a))/hbar**2

    psi= np.zeros(N+1)
    psi[0]=0
    psi[1]=0.1    

    for j in np.arange(2,N):
        psi[j+1]= numerov_step(psi[j],psi[j+1],k[j-1],k[j],k[j+1],dx)

    return psi

x0 =-10
xE = 10
N =1000

psi=numerov(N,x0,xE,3)

x = np.linspace(x0,xE,N+1)

plt.figure()
plt.plot(x,psi)
plt.show()

由于情节看起来根本不像波函数，肯定有什么问题，但我很难找出它是什么..如果有人能帮忙一点就好了。

Answer 1

不幸的是我不太记得量子物理学所以我不明白一些细节。我仍然在您的代码中看到一些错误：

1. 为什么在

   numerov_step

   里面你方形

   k1

   ，

   k2

   和

   k3

   ？

2. 在你的主周期中

   for j in np.arange(2,N):
      psi[j+1]= numerov_step(psi[j],psi[j+1],k[j-1],k[j],k[j+1],dx)

你搞乱了索引。看起来这条线应该是

   for j in np.arange(2, N):
     psi[j] = numerov_step(psi[j - 2], psi[j - 1], k[j - 2], k[j - 1], k[j], dx)

3. 这是我不太明白的部分。在您的第一个链接上查看动画，看起来这个方程仅对于

   V(x)

   和

   E

   的某些组合有很好的解决方案，在其他情况下它很快就会变得疯狂。看来您的

   V(x)

   以及

   E

   与

   hbar

   和

   V(x)

   的比例与参考文章有很大不同，这可能是解决方案变得疯狂的又一个原因。