使用实验数据进行双重积分

Question

我需要使用实验数据执行双重积分，但每个积分的积分限制是相同的，在本例中是时间。从数学角度来说，我需要计算：

E [ a₀+ ∫₀^T a(t)dt ] = a + lim_{Tx → ∞} (1/T) ∫₀^T ∫₀^t a dt dT

经过一番搜索，我到达：

T = 0:0.1:600;
x = T;
A = rand(1,length(T)); % my data
pp_int = spline(T,A );
DoubleIntegration = integral(@(x)arrayfun(@(T )(integral(@(T ) ppval(pp_int,T ),0,  T  )),x),0,T(end)  );

代码花了很长时间才运行并提供了巨大的价值。我认为我的问题是 Matlab 可能在处理样条线时遇到问题，但我不知道如何解决这个问题。

Answer 1

首先，你不应该对一堆东西使用同一个字母；您的代码很难阅读，因为必须弄清楚 T 在每种情况下的含义。

第二，纯数学有帮助：改变变量和简单计算后，二重积分变成单积分：

∫₀^T ∫₀^x a(t) dt dx = ∫₀^T ∫_t^T a(t) dx dt = ∫₀^T (T-t)*a(t) dt

我使用较小范围内的非随机数据进行演示：

T = 0:0.1:60;
x = T;
A = sin(T.^2); % my data
pp_int = spline(T,A );
tic
DoubleIntegration = integral(@(x) arrayfun(@(T )(integral(@(T ) ppval(pp_int,T ),0,  T  )),x),0,T(end)  );
toc
tic
SingleIntegration = integral(@(t) (T(end)-t).*ppval(pp_int,t), 0, T(end));
toc
disp(DoubleIntegration)
disp(SingleIntegration)

输出：

Elapsed time is 27.751744 seconds.
Elapsed time is 0.007223 seconds.
   51.3593

   51.3593

相同的结果，速度快 3800 倍。