三角傅立叶级数系数

Question

我正在尝试在所需函数上绘制三角函数傅里叶级数，但我遇到了一些问题。

代码如下：

import numpy as np
import scipy as scp
import matplotlib.pyplot as plt


def desired_function(t):
    return t ** 2


def a_zero(function, half_period, inferior_limit, superior_limit):
    return (1/2*half_period) * scp.integrate.quad(function, inferior_limit, superior_limit)[0]


def a_k(function, x, k, half_period, inferior_limit, superior_limit):
    return (1/half_period) * scp.integrate.quad(function * np.cos(x * k * (np.pi / half_period)), inferior_limit, superior_limit)[0]


def b_k(function, x, k, half_period, inferior_limit, superior_limit):
    return (1/half_period) * scp.integrate.quad(function * np.sin(k * x * (np.pi / half_period)), inferior_limit, superior_limit)[0]


def main():
    inferior_limit, superior_limit = -np.pi, np.pi
    half_period = (superior_limit - inferior_limit) / 2
    x = np.linspace(inferior_limit, superior_limit, 1000)

    f = a_zero(desired_function, half_period, inferior_limit, superior_limit)
    total_k = 10
    for k in range(1, total_k+1):
        f += a_k(desired_function, x, k, half_period, inferior_limit, superior_limit)*np.cos(k*x*(np.pi/half_period)) +\
             b_k(desired_function, x, k, half_period, inferior_limit, superior_limit)*np.sin(k*x*(np.pi/half_period))

        plt.plot(x, f, label=f'k = {k}')

    plt.style.use('bmh')
    plt.plot(x, desired_function(x), colour='k')
    plt.legend()
    plt.show()


if __name__ == '__main__':
    main()

1. 我遇到的第一个问题是在这些部分：

   scp.integrate.quad(function * np.cos(k * x * (np.pi / half_period)), inferior_limit, superior_limit)

   和

   scp.integrate.quad(function * np.sin(k * x * (np.pi / half_period)), inferior_limit, superior_limit)

   。我收到一条错误消息，试图将一个函数与一个浮点数相乘，我想知道是否有其他方法可以将函数和余弦（或正弦）结合起来。
2. 第二个问题是当我调用a_k或b_k时出现的警告

   Expected type '{__mul__}', got '(t: {__pow__}) -> Any' instead

   ，像这里：

   f += a_k(desired_function, x, k, half_period, inferior_limit, superior_limit)*np.cos(k*x*(np.pi/half_period))

   。我不明白为什么会出现这个警告，并且在调用 a_zero 时没有显示。

无论如何，我们将不胜感激。提前谢谢你！