识别贝尔曼-福特算法中的负循环

Question

当我选择选项 1 和 3（-6，无穷大），（-7，无穷大）并应用 Bellman-Ford 算法进行最短路径计算时，计算在第 n 步之后没有显示任何负循环选项（我可能是错的）。因此，“X”的值应至少为“-7”以避免任何负循环是否有效？

Answer 1

为了确定贝尔曼-福特算法是否可以在不遇到负循环的情况下使用，我们必须查看

x

的值，这些值不会造成循环周围的权重总和为负的情况。只要源顶点不存在可到达的负权重循环，贝尔曼-福特算法就能够处理具有负权重的图。

根据图像中的图表，我们可以分析周期，看看

x

如何影响每个周期的总重量：

以下是我们需要检查的潜在周期：

• 循环0-1-3-2-0
• 循环0-2-4-3-1-0
• 循环1-3-4-2-1

我们将检查这些循环，看看它们的总权重是否会因涉及

x

的边权重而变为负值。

1. 对于循环 0-1-3-2-0： 总重量 = 6 + x + 5 + 3 = x + 14。
2. 对于循环 0-2-4-3-1-0： 总重量 = 5 + 4 + 5 + 1 + 6 = x + 21。
3. 对于周期 1-3-4-2-1： 总重量 = x + 5 + 4 + 3 = x + 12。

为了不存在负循环，所有循环权重必须是非负的，这给了我们：

x + 14 ≥ 0
x + 21 ≥ 0
x + 12 ≥ 0

其中最受限制的是

x + 12 ≥ 0

，这意味着

x ≥ -12

。因此，对于大于或等于

-12

的 x 值，Bellman-Ford 算法不会遇到任何负环，可用于查找最短路径。

根据您的选择，范围

(-6, ∞)

和

(-7, ∞)

都是

[-12, ∞)

的子集，这意味着它们都是

x

的有效范围，其中可以使用 Bellman-Ford 算法而不会遇到负循环。如果

x

应至少为

-7

以避免负循环，这是“不正确的”，因为根据循环分析，x 应至少为

-12

以避免负循环。