如果两个整数的乘积落在浮点类型的无损范围内，将无损吗？

Question

Single Precision和Double Precision IEEE 754基2浮点值可以表示整数范围，而不会丢失。

[乘积A = BC，其中B和C是无损表示为浮点值的整数，如果乘积A在数学上落在浮点类型的无损范围内，则它总是无损吗？

更具体地说，我们是否知道普通的现代处理器是否可以确保对乘积进行计算，以使整数乘积具有如上所述的作用？

编辑：为了澄清每个链接，可以无损失表示的整数范围在双精度中为+ -2 ⁵³，在单精度中为+ -16777216。

编辑：IEEE-754要求将操作四舍五入到最接近的可表示精度，但我特别想了解现代处理器的行为

Answer 1

对于任何基本运算，IEEE-754要求，如果数学结果是可表示的，那么它就是结果。

该问题没有用IEEE-754标记，因此通常只询问浮点数。当精确的结果可表示时，没有一个明智的系统会给出不准确的结果，但是仍然有可能创建一个准确的结果。

Answer 2

让我们专注于IEEE-754单精度。

在此代码中，尾数使用23 + 1位编码，不需要编码的位数不超过24位的整数可以用浮点数精确表示（即，其绝对值在1到2 ^ 24-1范围内的整数）。

但是，在此范围之上，其他整数也可以精确编码。例如2 ^ 24或2 ^ 30 + 2 ^ 28。

通常，确定数字是否可以正确编码的不是范围，而是整数代码中1的数目和分布。如果考虑数字的二进制表示形式，并且调用k最左边的位的索引为1和l最右边的位的索引为1，则如果

，则可以对整数进行精确编码

• k − l <= 23

• k <= 127（具有遵守SP标准的指数）

这些是| A | = M×2 ^ e形式的整数，其中M <2 ^ 24和A <2 ^ 128。

如果我们做两个数字A和B的乘积，并假设| A |，|| [[B | <2 ^ 24，则所有可能]

• 如果结果为

  A

×B <2 ^ 24，则可以完全对其进行编码，因为它不需要编码超过24位

如果结果为

A

×B] >> 2 ^ 24，则它不在范围内，但可能会被正确编码。例如A = 2 ^ 22和B = 2 ^ 5，A×B = 2 ^ 27可以准确编码。

但通常，如果将两个24位尾数相乘，则需要48位来表示整数结果。极值索引（上面称为

k

-l）的索引的差值小于24的可能性很小。例如，A = 2 ^ 24-1 B = 2 ^ 24-2，乘积A×B不能用24位精确表示。所以回答您的问题，如果|

A |，| B | <2 ^ 24，如果| A×B | <2 ^ 24，A×B] >可以精确编码。如果| A×B |≥2^ 24，则可能会进行无损编码，但通常不正确。当然，当尾数为52 + 1位时，这可以扩展为双精度。

如果处理器遵守IEEE-754标准，则它完全独立于处理器体系结构。它取决于IEEE-754标准定义数字代码的方式。