如何找出圆从矩形中伸出多少

Question

这个圆悬挂在矩形之外的面积是多少（想象矩形两端延伸到（无穷大，无穷大）），以及如何将其推广到任何半径的任何圆以及任何矩形尺寸。

我有一个编码问题，我需要计算多个不同圆的圆在矩形中的百分比，当矩形的角被覆盖时，我在代码中遇到困难。如果没有角问题，我可以简单地查看每个突出边缘的距离，然后使用一些圆/三角数学来找到每个外部位的面积。但是一旦角被覆盖，代码就会对角位进行计数：在圆位于 (0,0) 的极端情况下，它将左半部分计为出局，将上半部分计为出局，并得出整个圆出局的结论。我画了图表，但没能找到一种方法来发现被多算的区域。我最初尝试找到外三角形的尺寸，但我也无法弄清楚。

我知道有一个答案，因为只有一种可能性有足够的信息，但我不知道如何解决。

这是我到目前为止的代码，它只是计算垂直于轴的线段覆盖的面积，因此当这些线段重叠时会过度计算。 xbounds 是矩形宽度的元组 (low, high)，ybounds (low, high) 是矩形高度的元组，这些只是说明矩形在 x 和 y 轴上开始和结束的位置，实际上，第一个值是 0，因为矩形从零开始，第二个值是非常大的数字。 范围是圆的半径。 Pos 是一个虚数，代表原点，其中 real 是 x 坐标，imag 是 y 坐标。

r2 = range*range
outarea = 0
        
if (b:= -pos.real+range+xbounds[0])>0:
    theta = 2*acos(1-b/range)
    outarea=0.5*r2*(theta-sin(theta))
        
if (b:= pos.real+range-xbounds[1])>0:
    theta = 2*acos(1-b/range)
    outarea+=0.5*r2*(theta-sin(theta))
        
if (b:= -pos.imag+range+ybounds[0])>0:
    theta = 2*acos(1-b/range)
    outarea+=0.5*r2*(theta-sin(theta))
        
if (b:= pos.imag+range-ybounds[1])>0:
    theta = 2*acos(1-b/range)
    outarea+=0.5*r2*(theta-sin(theta))

Answer 1

如果角（我称之为 O）在圆的内部，你可以

• 在两个交点 A 和 B 之间画一条线。

• 求直角三角形ABO的面积。

• 获取 A 和 B 之间以圆 C 中心为中心的扇形面积。这应该是

  pi*r*r*percentage

  ，其中

  percentage

  可以通过使用 atan2 计算得到射线 CA 和 CB 的角度，然后将它们的差除以 2pi。

• 计算直角三角形ABC的面积。

• 弦AB与圆之间的面积是面积（扇形）-面积（三角形ABC）。

• 圆与矩形交点的面积为（弦与圆之间的面积）+面积（三角形ABC）

• 矩形外圆的面积是圆的面积减去它们的交点。