使用高斯（复数）整数生成毕达哥拉斯三元组

Question

我刚才刚刚发现了一种通过this video解释它来产生毕达哥拉斯三元组的方法，涉及使用高斯（复数）整数。到目前为止，我设法写了一个函数，返回由每个高斯整数生成的毕达哥拉斯三元组列表，其中虚部小于实部。

def pyt(max_real):
    t = []
    real = 2
    imag = 1
    while real <= max_real:
        z = complex(real, imag)**2
        t.append((z.real, z.imag, abs(z)))
        if imag + 1 == real:
            real += 1
            imag = 1
        else:
            imag += 1
    return t

这个问题是一些三元组（例如{9,12,15}）不会通过该函数所基于的视频中的初始步骤生成，并且我不确定如何生成这些三元组。

>>> for i in pyt(4):
        print(i)


(3.0, 4.0, 5.0)
(8.0, 6.0, 10.0)
(5.0, 12.0, 13.0)
(15.0, 8.0, 17.0)
(12.0, 16.0, 20.0)
(7.0, 24.0, 25.0)
>>> # missing: (9, 12, 15), possibly others

我将如何使用我已经拥有的或其他方式生成每个可能的三元组？

Answer 1

编辑：我意识到这实际上可能会错过一些三元组，请看最后一行的通知。

此答案基于您提供的链接。我们将使用以下信息：

• 我们可以使用高斯整数的方法来找到所有三重生成器
• 任何三元组都是上述发生器之一的倍数
• 为了找到三元组，我们永远不需要通过小于1/2来缩放发电机，给出我们需要的最大发电机的上限。

所以这里有一些关于我们如何进行的伪代码。下面将介绍可能实施的一些细节。

def pyt(max_real):
    max_generator = 2 * max_real
    generators = set()

    # Find every generator inside our upper bound
    for x in [Gaussian integers if abs(x) < max_generator and x.imag < x.real]:
        y = x**2
        triple = (y.real, y.imag, abs(y))
        generators.add(triple)


    # Scale up
    scaled_up_generators = set()

    for a, b, c in generators:

        for i in range(max_real / c):
            scaled_up_generators.add((i * a, i * b, i * c))

    # Scale down
    triples = set()

    for a, b, c in generators:

        common_factors = find_common_factors(a, b, c)
        for factor in common_factors:
            triples.add((a / factor, b / factor, c / factor))

    triples = set()

    # Before returning we filter out the triples that are too big.
    return filter(lambda triple: triple[2] <= max_real, triples)

上面的代码恢复了所有三重生成器，最多可达到提供的两倍。然后通过上下缩放它们，我们恢复了边界内的所有三元组。

您可能希望了解一种有效的方法来查找实现find_common_factors，here is a start的常见因素。

同样，此实现仅基于链接中提供的信息。它也会捕获更多的三倍，但可能不会捕获需要通过更精细的分数缩放的三元组。可能有一种更有效的方法可以继续，但为此，我建议转向MathExchange。