两个函数线性无关

Question

为什么函数 1/(1-x) 和 1/(1+x) 对于 ]-1,1[ 中的 x 是线性无关的。 谢谢你。

我尝试在 a/(1-x)+b/(1+x) 中解决 a, b 但我不知道可能会显示连续性或可导性，或者我应该尝试使用 c=(1-x)/(1 +x) 并表明它不依赖于 x

Answer 1

这两个函数与 (a,b) != (0,0) 不存在线性组合，使得 ]-1;1[

中的所有 x 的结果均为 0

a/(1-x) + b/(1+x) = [(a+b) + (a-b)*x]/(1-x^2) = f(x)

f(0) = 0 导致 a = -b 所以 f(x) = 2ax/(1-x^2)

f(1/2) = 0 导致 a = 0，因此 b = -a = 0