如何在R中通过试错或更好的具体替代方法将数据集拟合为一个特定的函数？

Question

我有一个数据集，我想调整为以下函数，并找到参数a和b。

我尝试了非线性最小二乘法，但是，我想尝试通过试验和错误， 使用一个矢量的值为a，和另一个为b，然后绘制所有的替代品 混合这个值，以选择一个更好的配合。

library(readxl)
library(ggplot2)

x <- c(52.67, 46.80, 41.74, 40.45)
y <- c(1.73, 1.84, 1.79, 1.45)

df <- data.frame(x,y)

ggplot(data = df, aes(x, y))+
  geom_point()+
  stat_smooth(method="nls",
              se=FALSE,
              formula = y ~ (a*b*x)/(1+(b*x)),
              method.args = list(start = c(a=2.86, b=0.032)))

Answer 1

不知道你是不是对输出的东西有点不信任 nls，想着也许自己能找到更适合的？

这里有一个方法，至少可以让你更好地感受到不同价值观所创造的契合度。a 和 b. 这个想法是，我们创建一个包含所有的 a X轴上的所有数值，以及所有的 b 在y轴上。对于每一对 a 和 b 我们计算出所得到的曲线与我们的数据有多接近（通过取对数平方和）。如果拟合效果好，我们用亮色来表示，如果拟合效果不好，我们用深色来表示。这使我们可以看到好的拟合的组合类型--实际上是参数的热图。

# Our actual data, put in a data frame:
df <- data.frame(x = c(52.67, 46.80, 41.74, 40.45), y = c(1.73, 1.84, 1.79, 1.45))

# Create a grid of all a and b values we want to compare
a <- seq(-5, 10, length.out = 200)
b <- seq(0, 0.5, length.out = 100)
all_mixtures <- setNames(expand.grid(a, b), c("a", "b"))

# Get the sum of squares for each point:
all_mixtures$ss <- apply(all_mixtures, 1, function(i) {
  log(sum((i[1] * i[2] * df$x / (1 + i[2] * df$x) - y)^2))
})

现在我们绘制热图。

p <- ggplot(all_mixtures, aes(a, b, fill = ss)) +
  geom_tile() + 
  scale_fill_gradientn(colours = c("white", "yellow", "red", "blue")) 
p

很明显，最佳的一对 a 和 b 位于白线上的某处。

现在让我们看看 nls 认为是最佳组合 a 和 b 是。

p + geom_point(aes(x= 2.8312323, y = 0.0334379), size = 5)

看起来它在白线的 "弯曲 "处找到了最佳位置，这可能是你所猜测的。

看来如果你偏离了这条白线，你的拟合度会更差，而且你在白线上也找不到更好的地方。

相信 nls. 是的，拟合度看起来不是很好，但那只是因为数据不能很好地拟合这个特殊的公式，无论你如何设置它的参数。如果你的模型必须是这种形式，而这些是你的数据，这就是你要得到的最好的拟合。

Answer 2

什么才是更好的位呢？从数学上讲，最佳拟合度就是优化了一个拟合度指标。我们来获取参数 a 和 b 最小化偏差的平方和（最小二乘法）。

首先，定义你的度量 (least_squares 下）。)

x <- c(52.67, 46.80, 41.74, 40.45)
y <- c(1.73, 1.84, 1.79, 1.45)

y_hat <- function(x, a, b){
  a*b*x/(1 + b*x)
}

least_squares <- function(par, y, x){
  sum((y - y_hat(x, par[1], par[2]))^2)
}

在这之后，我们将度量衡最小化w.r.t a 和 b. 人们可以使用R机械进行多变量优化（如。optim)对其进行。

optim(c(2.86, 0.032), least_squares, y=y, x=x)

从而得到参数的最优值。

$par
[1] 2.8312323 0.0334379

这里： c(2.86, 0.032) 是对参数值的初始猜测。您可以根据您的需要自由定义您自己的度量标准（例如，绝对偏差之和，最小二乘的加权和等），并对其进行优化。您可以玩弄设置，但考虑到这个例子非常简单，您不太可能对相同的优化度量得出不同的结果。