向量化 3D 数组的 NumPy 协方差

Question

我有一个形状为

(t, n1, n2)

的 3D numpy 数组：

x = np.random.rand(10, 2, 4)

我需要计算另一个 3D 数组

y

，其形状为

(t, n1, n1)

，使得：

y[0] = np.cov(x[0,:,:])

...沿第一个轴的所有切片依此类推。

因此，一个循环的实现将是：

y = np.zeros((10,2,2))
for i in np.arange(x.shape[0]):
    y[i] = np.cov(x[i, :, :])

有没有什么方法可以对其进行矢量化，以便我可以一次性计算所有协方差矩阵？我尝试做：

x1 = x.swapaxes(1, 2)
y = np.dot(x, x1)

但是没有成功。

Answer 1

侵入

numpy.cov source code

并尝试使用默认参数。事实证明，

np.cov(x[i,:,:])

就很简单：

N = x.shape[2]
m = x[i,:,:]
m -= np.sum(m, axis=1, keepdims=True) / N
cov = np.dot(m, m.T)  /(N - 1)

因此，任务是对这个循环进行矢量化，该循环将迭代

i

并一次性处理来自

x

的所有数据。同样，我们可以在第三步使用

broadcasting

。对于最后一步，我们沿着第一个轴的所有切片执行

sum-reduction

。这可以通过

np.einsum

以矢量化方式有效实现。于是，最终的实现是这样的 -

N = x.shape[2]
m1 = x - x.sum(2,keepdims=1)/N
y_out = np.einsum('ijk,ilk->ijl',m1,m1) /(N - 1)

运行时测试

In [155]: def original_app(x):
     ...:     n = x.shape[0]
     ...:     y = np.zeros((n,2,2))
     ...:     for i in np.arange(x.shape[0]):
     ...:         y[i]=np.cov(x[i,:,:])
     ...:     return y
     ...: 
     ...: def proposed_app(x):
     ...:     N = x.shape[2]
     ...:     m1 = x - x.sum(2,keepdims=1)/N
     ...:     out = np.einsum('ijk,ilk->ijl',m1,m1)  / (N - 1)
     ...:     return out
     ...: 

In [156]: # Setup inputs
     ...: n = 10000
     ...: x = np.random.rand(n,2,4)
     ...: 

In [157]: np.allclose(original_app(x),proposed_app(x))
Out[157]: True  # Results verified

In [158]: %timeit original_app(x)
1 loops, best of 3: 610 ms per loop

In [159]: %timeit proposed_app(x)
100 loops, best of 3: 6.32 ms per loop

速度大幅提升！

Answer 2

我知道这个话题有点老了，但你可以用 numba 进一步加快当前的建议：

@njit(parallel=True)
def numba_cov(points_array):
    covs = np.empty((points_array.shape[0], points_array.shape[1], points_array.shape[1]))
    for idx in prange(covs.shape[0]):
        covs[idx] = np.cov(points_array[idx])
    return covs

在大小为 N=100000 的数组上进行测试：

%timeit numba_cov(x)
8.7 ms ± 843 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100 loops each)
%timeit proposed_app(x)
18.4 ms ± 500 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100 loops each)