任何函数都能被分解为高斯之和吗？

Question

• 在傅里叶级数中，任何函数都可以分解为正弦和余弦的总和
• 在神经网络中，任何函数都可以作为逻辑函数的加权和进行分解。 （单层神经网络）
• 在小波变换中，任何函数都可以分解为哈尔函数的加权和

还有这样的属性可以分解成高斯混合物吗？如果是的话，有证据吗？

Answer 1

如果总和允许无限，那么答案是肯定的。请参阅Yves Meyer的“小波与算子”一书，第6.6节，引理10。

Answer 2

是。将任何函数分解为任何类型的高斯的总和是可能的，因为它可以被分解为Dirac functions的总和:)（并且Dirac是高斯，其中方差接近零f）

一些更有趣的问题是1）任何函数都可以被分解为非零方差高斯的总和，具有给定的恒定方差，这些方差是在不同的中心周围定义的吗？ 2）任何函数都可以被分解为非零方差高斯的总和，所有这些都以0为中心，但是用交替方差定义？

Mathematics可能是回答这些问题的更好的地方，但......

Answer 3

有一个定理，即Stone-Weierstrass theorem，它给出了函数族可以逼近任何连续函数的条件。你需要

• 函数的代数（在加法，减法和乘法下关闭）
• 不变的功能
• 你需要功能来分开点： （对于任何两个不同的点，您可以找到一个赋予它们不同值的函数）

随着越来越宽的高斯人，你可以近似一个常数函数。你可以将高斯时间转移到不同的点上。因此，如果你用高斯语形成代数，你可以用它们近似任何连续函数。