使用 scipy.integrate.quad 进行 3D 积分

Question

提问的动机

我正在尝试在所有空间上积分函数 f(x,y,z)。

我尝试使用 scipy.integrate.tplquad 和 scipy.integrate.nquad 进行积分，但这两种方法都将积分返回为 0（当积分应该是有限的时）。这是因为，随着积分量的增加，被积函数非零的区域被采样得越来越少。积分“错过”了这个空间区域。然而， scipy.integrate.quad 似乎能够通过执行变量的更改来处理 [-无穷大，无穷大] 的积分......

问题

是否可以使用 scipy.integrate.quad 3 次来执行三重积分。我想到的代码如下所示：

x_integral = quad(f, -np.inf, np.inf)
y_integral = quad(x_integral, -np.inf, np.inf)
z_integral = quad(y_integral, -np.inf, np.inf)

其中 f 是函数 f(x, y, z)，x_integral 应该从 x = [- 无穷大, 无穷大] 积分，y_integral 应该从 y = [- 无穷大, 无穷大] 积分，z_integral 应该从 z = [- 无穷大] 积分无穷大，无穷大]。我知道quad想要返回一个浮点数，所以不喜欢在x上积分函数f(x, y, z)来返回y和z的函数（如上面代码中的x_integral = ...行正在尝试做）。有没有办法实现上面的代码？

谢谢

Answer 1

这是一个嵌套调用

quad

执行积分并给出球体体积 1/8 的示例：

import numpy as np
from scipy.integrate import quad

def fz(x, y):
    return quad( lambda z:1, 0, np.sqrt(x**2+y**2) )[0]

def fy(x):
    return quad( fz, 0, np.sqrt(1-x**2), args=(x, ) )[0]

def fx():
    return quad( fy, 0, 1 )[0]

fx()
>>> 0.5235987755981053

4/3*np.pi/8
>>> 0.5235987755982988

Answer 2

我正在尝试在所有空间上积分函数 f(x,y,z)。

首先你必须问自己为什么积分应该收敛。它有一个因子

exp(-r)

或

exp(-r^2)

吗？在这两种情况下，quadpy（我的一个项目有适合你的东西），例如，

import quadpy

scheme = quadpy.e3r2.stroud_secrest_10a()
val = scheme.integrate(lambda x: x[0]**2)
print(val)

2.784163998415853