基于三个相关相关系数的总解释方差

Question

当仅知道三个相关系数时，有什么方法可以计算由两个因变量 y 和 z 解释的变量 x 的总解释方差吗？

假设有以下相关性（但不是原始数据）：

xy = 0.71

xz = 0.25

yz = 0.33

那么 x 的总解释方差是多少？

我通过（半）偏相关的几种方法得到的值> 1。 有谁知道这种情况的公式吗？

提前非常感谢！

Answer 1

如果 x 由 y 和 z 预测，则您要查找的值是 R

2^{，即 x 由 y 和 z 解释的总方差。 这是一篇解释这一点的文章，从中我得到了公式：}你可以计算 R2 ^{来自多元线性回归中的相关系数？}

如果您熟悉 R，我编写了一些代码来验证您的特定示例：

# Correlations
xy <- 0.71
xz <- 0.25
yz <- 0.33

# Correlation of each predictor with dependent variable
r_pred_DV <- matrix(c(xy, xz), ncol = 1)
# Correlation between predictors
r_pred_pred <- matrix(c(1, yz, yz, 1), ncol = 2)

R_sq <- t(r_pred_DV) %*% solve(r_pred_pred) %*% r_pred_DV

# Same thing with example data:
library(faux)                        # for data simulation
set.seed(1234)
n <- 50           
y <- rnorm(n)
z <- rnorm_pre(y, r = yz, empirical = TRUE)
x <- rnorm_pre(data.frame(y, z), r = c(xy, xz), empirical = TRUE)
data <- data.frame(y, z, x)
cor(data)                            # correlation matrix is the same 

model <- lm(x ~ y + z, data = data)
summary(model)$r.squared             # same as with formula